Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Điểm I thuộc đoạn SA. Biết mặt phẳng (MNI) chia khối chọp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng \(\frac{7}{{13}}\) lần phần còn lại. Tính tỉ số \(k = \frac{{IA}}{{IS}}.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Dễ thấy thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNI) với hình chóp là hình ngũ giác IMNJH với MN // IJ. Ta có MN, AD, IH đồng qui tại E với \(EA = \frac{1}{3}ED\) và MN, CD, HJ đồng qui tại F với \(FC = \frac{1}{3}FD\), chú ý E, F cố định.
Dùng định lí Menelaus với tam giác SAD ta có \(\frac{{HS}}{{HD}}.\frac{{ED}}{{EA}}.\frac{{IA}}{{SI}} = 1\).
\( \Leftrightarrow \frac{{HS}}{{HD}}.3.k = 1 \Leftrightarrow \frac{{HS}}{{HD}} = \frac{1}{{3k}}\)
Từ đó \(\frac{{d\left( {H,\left( {ABCD} \right)} \right)}}{{d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right)}} = \frac{{HD}}{{SD}} = \frac{{3k}}{{3k + 1}}\).
Suy ra \({V_{HJIAMNCD}} = {V_{H.DFE}} - {V_{I.AEM}} - {V_{J.NFC}}\).
Đặt \(V = {V_{S.ABCD}}\) và \(S = {S_{ABCD}},h = d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right)\) ta có \({S_{AEM}} = {S_{NFC}} = \frac{1}{8}S\) và \(\frac{{d\left( {I,\left( {ABCD} \right)} \right)}}{{d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right)}} = \frac{{IA}}{{SA}} = \frac{k}{{k + 1}}\)
Thay vào ta được \({V_{HJIAMNCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{3k}}{{3k + 1}}h.\left( {\frac{9}{8}S} \right) - 2.\frac{1}{3}.\frac{k}{{k + 1}}h.\frac{1}{8}S=\frac{1}{8}.\frac{{21{k^2} + 25k}}{{\left( {3k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)}}\).
Theo giả thiết ta có \({V_{HJIAMNCD}} = \frac{{13}}{{20}}V\) nên ta có phương trình \(\frac{1}{8}.\frac{{21{k^2} + 25k}}{{\left( {3k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)}} = \frac{{13}}{{20}}\), giải phương trình này được \(k = \frac{2}{3}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Gia Viễn B
Câu hỏi liên quan
-
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _3}\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\)
-
Số phức liện hợp của số phức 5 - 2i là
-
Cho biểu thức \(P = \frac{{{a^{10}}{b^{12}}}}{{{a^2}{b^8}}},\) với a > 0, b > 0. Mệnh đề nào sau đúng ?
-
Gọi A là điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\). Tìm giá trị của tham số m sao cho điểm A nằm trên đường thẳng \(d:y = 2018x + m\).
-
Cho khối nón có chiều cao h = 15 và bán kính đáy r = 2. Thể tích khối nón đã cho bằng
-
Giả sử a, b là các số thực sao cho \({x^3} + {y^3} = a{.10^{3z}} + b{.10^{2z}}\) đúng với mọi các số thực dương x, y, z thoả mãn \(\log \left( {x + y} \right) = z\) và \(\log \left( {{x^2} + {y^2}} \right) = z + 1\). Giá trị của a + b bằng
-
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, AD = CD = a, AB = 2a. Quay hình thang ABCD quanh đường thẳng CD. Thể tích khối tròn xoay thu được là:
-
Cho hàm số y = f(x) xác định , liên tục trên R và có bảng biến thiên sau:
.PNG)
Số nghiệm của phương trình f(x) - 2 = 0
-
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R \ {0;-1} thỏa mãn điều kiện \(f\left( 1 \right) = - 2\ln 2\) và \(x\left( {x + 1} \right).f'\left( x \right) + f\left( x \right) = {x^2} + x\). Giá trị \(f\left( 2 \right) = a + b\ln 3\), với \(a,\,b \in Q\). Tính \({a^2} + {b^2}\).
-
Trong tất cả các cặp số thực (x;y) thỏa mãn \(lo{g_{{x^2} + {y^2} + 3}}\left( {2x + 2y + 5} \right) \ge 1,\) có bao nhiêu giá trị thực của m để tồn tại duy nhất cặp số thực (x;y) sao cho \({x^2} + {y^2} + 4x + 6y + 13 - m = 0\).
-
Cho hàm f(x) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn \(2{x^2}f\left( {{x^2}} \right) + 2xf\left( {2x} \right) = 2{x^4} - 4x - 3,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\). Giá trị của \(\int\limits_{\frac{1}{4}}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng
-
Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 60o diện tích xung quanh bằng \(6\pi {a^2}\). Tính thể tích V của khối nón đã cho.
-
Cho hàm số \(y = \left| {{x^3} - mx + 1} \right|.\) Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên sao cho hàm số đồng biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right).\) Tìm số phần tử của S.
-
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = {x^3} + 2{x^2} - 7x\) trên đoạn [0;4].
-
Với a là số thực dương tùy ý, \(lo{g_5}{a^2}\) bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác vuông tại A, AB = 2a, AC = 4a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a( minh hoạ như hình bên) . Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC bằng
.png)
-
Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng \(\sqrt 6 \) và chiều cao h = 1. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp đó là
-
Cho hàm số y = f(x), liên tục xác định trên R và có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right),\) có bảng biến thiên như hình sau:
.png)
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
-
Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn An, Bình, Chung, Đạt, Giang ngồi vào một bàn học có năm chỗ?
