Cho hàm f(x) liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$ thỏa mãn $2{x^2}f\left( {{x^2}} \right) + 2xf\left( {2x} \right) = 2{x^4} - 4x - 3,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)$. Giá trị của $\int\limits_{\frac{1}{4}}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$ bằng

Số phức liện hợp của số phức 5 - 2i là 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Điểm I thuộc đoạn SA. Biết mặt phẳng (MNI) chia khối chọp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng $\frac{7}{{13}}$ lần phần còn lại. Tính tỉ số $k = \frac{{IA}}{{IS}}.$

Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f\left( x \right),y = 0,x = - 2,x = 3$ (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 60^o diện tích xung quanh bằng $6\pi {a^2}$. Tính thể tích V của khối nón đã cho.

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D', có AB = 3a, BC = 4a, AA' = 5a (minh họa như hình vẽ bên). Côsin góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng (ABCD) bằng

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện ${x^2} + {y^2} + xy + 4 = 4y + 3x$. Gọi M là giá trị lớn nhất của biểu thức $P = 3\left( {{x^3} - {y^3}} \right) + 20{x^2} + 2xy + 5{y^2} + 39x$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho mặt cầu có bán kính R = 3. Diện tích mặt cầu đã cho bằng

Cho khối nón có chiều cao h = 15 và bán kính đáy r = 2. Thể tích khối nón đã cho bằng 

Cho hàm số y = f(x), liên tục xác định trên R và có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn ${2^x} + {2^y} = 4$. Tìm giá trị lớn nhất P_max của biểu thức $P = \left( {2{x^2} + y} \right)\left( {2{y^2} + x} \right) + 9xy$.

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}}$ là

Cho hàm số y = f(x) hàm số liên tục trên R, có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đúng?

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ; + \infty } \right),$ có bảng biến thiên như hình sau:

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

Thể tích của khối lập phương cạnh bằng 3cm bằng

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác vuông tại A, AB = 2a, AC = 4a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a( minh hoạ như hình bên) . Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC bằng

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R \ {0;-1} thỏa mãn điều kiện $f\left( 1 \right) = - 2\ln 2$ và $x\left( {x + 1} \right).f'\left( x \right) + f\left( x \right) = {x^2} + x$. Giá trị $f\left( 2 \right) = a + b\ln 3$, với $a,\,b \in Q$. Tính ${a^2} + {b^2}$.

Biết $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = 2$ và $\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx =  - 4}$, khi đó $\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx}$ bằng

Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 2020. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD, ACD, BCD. Tính theo V thể tích của khối tứ diện MNPQ.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Biết $SA = a,\;SN = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}$, $\widehat {SCA} = {45^0}$. Tính khoảng cách từ SM tới đường thẳng BC (minh hoạ như hình bên) .