Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R \ {0;-1} thỏa mãn điều kiện \(f\left( 1 \right) = - 2\ln 2\) và \(x\left( {x + 1} \right).f'\left( x \right) + f\left( x \right) = {x^2} + x\). Giá trị \(f\left( 2 \right) = a + b\ln 3\), với \(a,\,b \in Q\). Tính \({a^2} + {b^2}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTừ giả thiết, ta có \(x\left( {x + 1} \right).f'\left( x \right) + f\left( x \right) = {x^2} + x\frac{x}{{x + 1}}.f'\left( x \right) + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}f\left( x \right) = \frac{x}{{x + 1}}\)
\( \Leftrightarrow {\left[ {\frac{x}{{x + 1}}.f\left( x \right)} \right]^\prime } = \frac{x}{{x + 1}}\), với \(\forall x \in R\backslash \left\{ {0;\,\, - 1} \right\}\).
Suy ra \(\frac{x}{{x + 1}}.f\left( x \right) = \int {\frac{x}{{x + 1}}\,} {\rm{d}}x\) hay \(\frac{x}{{x + 1}}.f\left( x \right) = x - \ln \left| {x + 1} \right| + C\).
Mặt khác, ta có \(f\left( 1 \right) = - 2\ln 2\) nên C = -1. Do đó \(\frac{x}{{x + 1}}.f\left( x \right) = x - \ln \left| {x + 1} \right| - 1\).
Với x = 2 thì \(\frac{2}{3}.f\left( 2 \right) = 1 - \ln 3 \Leftrightarrow f\left( 2 \right) = \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\ln 3\). Suy ra \(a = \frac{3}{2}\) và \(b = - \frac{3}{2}\).
Vậy \({a^2} + {b^2} = \frac{9}{2}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Gia Viễn B
Câu hỏi liên quan
-
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} - x}} > {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{4 - x}}\)
-
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _3}\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\)
-
Họ tất cả các số nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2x + 4\) là
-
Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện \({x^2} + {y^2} + xy + 4 = 4y + 3x\). Gọi M là giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = 3\left( {{x^3} - {y^3}} \right) + 20{x^2} + 2xy + 5{y^2} + 39x\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho hàm số y = f(x), liên tục xác định trên R và có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, AD = CD = a, AB = 2a. Quay hình thang ABCD quanh đường thẳng CD. Thể tích khối tròn xoay thu được là:
-
Cho dãy số (un) với \({u_n} = \frac{{n + 2020}}{{n + 4}}.\) Giới hạn của dãy số (un) bằng
-
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right),\) có bảng biến thiên như hình sau:
.png)
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
-
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = {x^3} + 2{x^2} - 7x\) trên đoạn [0;4].
-
Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 2020. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD, ACD, BCD. Tính theo V thể tích của khối tứ diện MNPQ.
-
Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc A, tính xác suất để số tự nhiên được chọn chia hết cho 45.
-
Số phức liện hợp của số phức 5 - 2i là
-
Cho khối chóp có diện tích đáy B = 7 và chiều cao h = 15. Thể tích khối chóp đã cho bằng
-
Chị X gửi ngân hàng 20 000 000 đồng với lãi suất 0,5%/ tháng (sau mỗi tháng tiền lãi được nhập vào tiền gốc để tính lãi tháng sau). Hỏi sau 1 năm chị X nhận được bao nhiêu tiền, biết trong một năm đó chị X không rút tiền lần nào vào lãi suất không thay đổi (số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)?
-
Cho hàm số y = f(x) hàm số liên tục trên R, có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đúng?
.png)
-
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn \({2^x} + {2^y} = 4\). Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức \(P = \left( {2{x^2} + y} \right)\left( {2{y^2} + x} \right) + 9xy\).
-
Cho biểu thức \(P = \frac{{{a^{10}}{b^{12}}}}{{{a^2}{b^8}}},\) với a > 0, b > 0. Mệnh đề nào sau đúng ?
-
Cho hàm số y = f(x) xác định , liên tục trên R và có bảng biến thiên sau:
.PNG)
Số nghiệm của phương trình f(x) - 2 = 0
-
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) của phương trình \(3f(2\sin x) + 1 = 0\) là
-
Gọi A là điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\). Tìm giá trị của tham số m sao cho điểm A nằm trên đường thẳng \(d:y = 2018x + m\).
