Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R \ {0;-1} thỏa mãn điều kiện \(f\left( 1 \right) = - 2\ln 2\) và \(x\left( {x + 1} \right).f'\left( x \right) + f\left( x \right) = {x^2} + x\). Giá trị \(f\left( 2 \right) = a + b\ln 3\), với \(a,\,b \in Q\). Tính \({a^2} + {b^2}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTừ giả thiết, ta có \(x\left( {x + 1} \right).f'\left( x \right) + f\left( x \right) = {x^2} + x\frac{x}{{x + 1}}.f'\left( x \right) + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}f\left( x \right) = \frac{x}{{x + 1}}\)
\( \Leftrightarrow {\left[ {\frac{x}{{x + 1}}.f\left( x \right)} \right]^\prime } = \frac{x}{{x + 1}}\), với \(\forall x \in R\backslash \left\{ {0;\,\, - 1} \right\}\).
Suy ra \(\frac{x}{{x + 1}}.f\left( x \right) = \int {\frac{x}{{x + 1}}\,} {\rm{d}}x\) hay \(\frac{x}{{x + 1}}.f\left( x \right) = x - \ln \left| {x + 1} \right| + C\).
Mặt khác, ta có \(f\left( 1 \right) = - 2\ln 2\) nên C = -1. Do đó \(\frac{x}{{x + 1}}.f\left( x \right) = x - \ln \left| {x + 1} \right| - 1\).
Với x = 2 thì \(\frac{2}{3}.f\left( 2 \right) = 1 - \ln 3 \Leftrightarrow f\left( 2 \right) = \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\ln 3\). Suy ra \(a = \frac{3}{2}\) và \(b = - \frac{3}{2}\).
Vậy \({a^2} + {b^2} = \frac{9}{2}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Gia Viễn B
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D', có AB = 3a, BC = 4a, AA' = 5a (minh họa như hình vẽ bên). Côsin góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng (ABCD) bằng
-
Cho hàm số y = f(x), liên tục xác định trên R và có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Họ tất cả các số nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2x + 4\) là
-
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _3}\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\)
-
Cho khối chóp có diện tích đáy B = 7 và chiều cao h = 15. Thể tích khối chóp đã cho bằng
-
Chị X gửi ngân hàng 20 000 000 đồng với lãi suất 0,5%/ tháng (sau mỗi tháng tiền lãi được nhập vào tiền gốc để tính lãi tháng sau). Hỏi sau 1 năm chị X nhận được bao nhiêu tiền, biết trong một năm đó chị X không rút tiền lần nào vào lãi suất không thay đổi (số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)?
-
Giả sử a, b là các số thực sao cho \({x^3} + {y^3} = a{.10^{3z}} + b{.10^{2z}}\) đúng với mọi các số thực dương x, y, z thoả mãn \(\log \left( {x + y} \right) = z\) và \(\log \left( {{x^2} + {y^2}} \right) = z + 1\). Giá trị của a + b bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left| {{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} + a} \right|\). Gọi M, m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [0;2]. Có bao nhiêu số nguyên a thuộc [-4;4] sao cho \(M \le 2m\)?
-
Cho khối nón có chiều cao h = 15 và bán kính đáy r = 2. Thể tích khối nón đã cho bằng
-
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) của phương trình \(3f(2\sin x) + 1 = 0\) là
-
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}}\) là
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - \left( {{m^2} - 3m + 2} \right)x + 5\) đồng biến trên (0;2)?
-
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ?
.png)
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Biết \(SA = a,\;SN = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\), \(\widehat {SCA} = {45^0}\). Tính khoảng cách từ SM tới đường thẳng BC (minh hoạ như hình bên) .
.png)
-
Cho dãy số (un) với \({u_n} = \frac{{n + 2020}}{{n + 4}}.\) Giới hạn của dãy số (un) bằng
-
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = {x^3} + 2{x^2} - 7x\) trên đoạn [0;4].
-
Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện \({x^2} + {y^2} + xy + 4 = 4y + 3x\). Gọi M là giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = 3\left( {{x^3} - {y^3}} \right) + 20{x^2} + 2xy + 5{y^2} + 39x\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right),y = 0,x = - 2,x = 3\) (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
.png)
-
Cho các số thực dương a, b, c và \(a,b \ne 1,\) thỏa mãn \({\log _a}b = 9,{\log _a}c = 10\). Tính \(M = {\log _b}\left( {a\sqrt c } \right)\)
-
Thể tích của khối lập phương cạnh bằng 3cm bằng
