Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC có \(AB = a;\,AC = a\sqrt 2 \) và \(\widehat {CAB} = 135^\circ \), tam giác SAB vuông tại B và tam giác SAC vuông tại A. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) bằng 30o. Tính thể tích khối chóp S.ABC
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
.png)
Gọi D là hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC).
\(\left\{ \begin{array}{l} AB \bot SB\\ AB \bot SD \end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow AB \bot BD\)
\(\left\{ \begin{array}{l} AC \bot SA\\ AC \bot SD \end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow AC \bot AD\,\)
Tam giác ABC có \(\widehat {CAB} = 135^\circ \Rightarrow \widehat {BAD} = 45^\circ \).
Tam giác ABD vuông tại B có \(\widehat {BAD} = 45^\circ \) suy ra tam giác ABD vuông cân và \(AD = a\sqrt 2 \).
Từ đó có tam giác ACD vuông cân tại A ⇒ tứ giác ABCD là hình thang vuông tại B và D.
Trong mặt phẳng (SBD), hạ \(DH \bot SB\,\,\left( {H \in SB} \right)\). Dễ chứng minh \(DH \bot \left( {SAB} \right)\).
Trong mặt phẳng (SAD), hạ \(DK \bot SA\,\,\left( {K \in SA} \right)\). Dễ chứng minh \(DK \bot \left( {SAC} \right)\).
Gọi \(\alpha\) là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) ta có: \(\alpha = \widehat {\left( {DH,DK} \right)} = \widehat {HDK} = 30^\circ \) do tam giác DHK vuông tại H.
Đặt SD = x, (x > 0). Tam giác DHK vuông tại H có
\(\cos \widehat {HDK} = \frac{{HD}}{{DK}} \Rightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{ax}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}.\frac{{\sqrt {2{a^2} + {x^2}} }}{{\sqrt 2 .ax}}\)
\( \Leftrightarrow \sqrt 6 \sqrt {{a^2} + {x^2}} = 2\sqrt {2{a^2} + {x^2}} \Leftrightarrow 6{a^2} + 6{x^2} = 8{a^2} + 4{x^2} \Leftrightarrow x = a\)
\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{6}.SD.AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{{{a^3}}}{6}\)
Vậy thể tích khối S.ABC bằng \(\frac{{{a^3}}}{6}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số y = f(x), bảng xét dấu của f'(x) như sau
.PNG)
Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
-
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho các số thực a, b, c thuộc khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(\log _{\sqrt a }^2b + {\log _b}c.{\log _b}\left( {\frac{{{c^2}}}{b}} \right) + 9{\log _a}c = 4{\log _a}b\). Giá trị của biểu thức \({\log _a}b + {\log _b}{c^2}\) bằng
-
Gọi k và l lần lượt là số đường tiệm cận ngang và số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {2 - x} }}{{\left( {x - 1} \right)\sqrt x }}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(1;2;3) trên mặt phẳng (Oyz) có tọa độ là
-
Hãy tính diện tích phần tô đậm trong hình vẽ dưới đây.
.png)
-
Cho hàm số bậc ba f(x) có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(x) + 1 = m có 3 nghiệm phân biệt là
.png)
-
Xét tất cả các số thực dương a và b thỏa mãn \({\log _3}a = {\log _{27}}\left( {{a^2}\sqrt b } \right)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho hàm số f(x) có \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\) và \(f'\left( x \right) = x\sin x\). Giả sử rằng \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x.f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{a}{b} - \frac{{{\pi ^2}}}{c}\) (với a, b, c là các số nguyên dương, \(\frac ab\) tối giản). Khi đó a +b + c bằng
-
Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = 3 - t\\ z = 3t \end{array} \right.\)?
-
Cho hàm số \(f(x) = \frac{{\left( {m + 1} \right)\sqrt { - 2x + 3} - 1}}{{ - \sqrt { - 2x + 3} + \frac{2}{m}}}\) (m khác 0 và là tham số thực). Tập hợp m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \frac{1}{2};\,\,1} \right)\) có dạng \(S = \left( { - \infty ;\,\,a} \right) \cup \left( {b;\,\,c} \right] \cup \left[ {d;\,\, + \infty } \right)\), với a, b, c, d là các số thực. Tính P = a - b + c - d.
-
Với số thực dương a tùy ý, \({\log _3}\sqrt a \) bằng
-
Gọi \(\overline z \) là số phức liên hợp của số phức z = - 3 + 4i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(\overline z \).
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 3a,AD = DC = a. Gọi I là trung điểm của AD, biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60o. Gọi M điểm trên AB sao cho AM = 2a, tính khoảng cách giữa MD và SC.
-
Cho hình hộp có đáy là hình vuông cạnh bằng a và chiều cao 3a. Thể tích của hình hộp đã cho bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + z - 3 = 0\). Gọi (S) là mặt cầu có tâm I thuộc \(\Delta\) và tiếp xúc với (P) tại điểm H(1;-1;0). Phương trình của (S) là
-
Cho hàm số đa thức bậc bốn y = f(x), biết hàm số có ba điểm cực trị x = - 3; x = 3; x = 5. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{e^{{x^3} + 3{x^2}}} - m} \right)\) có đúng 7 điểm cực trị
-
Có tất cả bao nhiêu cặp số (a;b) với a, b là các số nguyên dương thỏa mãn: \({\log _3}\left( {a + b} \right) + {\left( {a + b} \right)^3} = 3\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 3ab\left( {a + b - 1} \right) + 1\).
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({9^{\log _9^2x}} + {x^{{{\log }_9}x}} \le 18\) là
-
Cho mặt cầu (S). Biết rằng khi cắt mặt cầu (S) bởi một mặt phẳng cách tâm một khoảng có độ dài là 3 thì được giao tuyến là đường tròn (T) có chu vi là \(12 \pi\). Diện tích của mặt cầu (S) bằng
