Cho các số thực a, b, c thuộc khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$ và thỏa mãn $\log _{\sqrt a }^2b + {\log _b}c.{\log _b}\left( {\frac{{{c^2}}}{b}} \right) + 9{\log _a}c = 4{\log _a}b$. Giá trị của biểu thức ${\log _a}b + {\log _b}{c^2}$ bằng

Cho hàm số f(x) có $f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2$ và $f'\left( x \right) = x\sin x$. Giả sử rằng $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x.f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{a}{b} - \frac{{{\pi ^2}}}{c}$ (với a, b, c là các số nguyên dương, $\frac ab$ tối giản). Khi đó a +b + c bằng

Cho mặt cầu (S). Biết rằng khi cắt mặt cầu (S) bởi một mặt phẳng cách tâm một khoảng có độ dài là 3 thì được giao tuyến là đường tròn (T) có chu vi là $12 \pi$. Diện tích của mặt cầu (S) bằng

Trong không gian Oxyz, tọa độ tâm của mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6 = 0$ là

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin x - 6{x^2}$ là

Lớp 11A có 20 học sinh nam và 25 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn một đôi song ca gồm 1 nam và 1 nữ?

Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = 3 - t\\ z = 3t \end{array} \right.$?

Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D', có đáy là hình bình hành cạnh AB = a, $AD = a\sqrt 3$, $\widehat {BAD} = 120^\circ$ và AB' = 2a (minh họa như hình dưới đây). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình hình thoi tâm O, $\Delta ABD$ đều cạnh $a\sqrt 2$, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}$ (minh họa như hình bên).Góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng (ABCD) bằng

Phương trình ${2020^{4x - 8}} = 1$ có nghiệm là

Cho hàm số $f(x) = \frac{{\left( {m + 1} \right)\sqrt { - 2x + 3} - 1}}{{ - \sqrt { - 2x + 3} + \frac{2}{m}}}$ (m khác 0 và là tham số thực). Tập hợp m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( { - \frac{1}{2};\,\,1} \right)$ có dạng $S = \left( { - \infty ;\,\,a} \right) \cup \left( {b;\,\,c} \right] \cup \left[ {d;\,\, + \infty } \right)$, với a, b, c, d là các số thực. Tính P = a - b + c - d.      

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Tổng tất cả giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f\left( {\sqrt {2f\left( {\cos x} \right)} } \right) = m$ có nghiệm $x \in \left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right).$

Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Một mặt phẳng qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông có diện tích bằng 4. Góc giữa đường cao của hình nón và mặt phẳng thiết diện bằng 30^o. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng

Cho phương trình $\sqrt {\log _3^2x - 4{{\log }_3}x - 5} = m\left( {{{\log }_3}x + 1} \right)$ với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm thuộc $\left[ {27; + \infty } \right)$.

Với số thực dương a tùy ý, ${\log _3}\sqrt a$ bằng

Họ nguyên hàm của hàm số $y = {e^x}\left( {1 - \frac{{{e^{ - x}}}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)$ là

Có tất cả bao nhiêu cặp số (a;b) với a, b là các số nguyên dương thỏa mãn: ${\log _3}\left( {a + b} \right) + {\left( {a + b} \right)^3} = 3\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 3ab\left( {a + b - 1} \right) + 1$.

Gọi $\overline z$ là số phức liên hợp của số phức z =  - 3 + 4i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức $\overline z$.

Cho hình hộp có đáy là hình vuông cạnh bằng a và chiều cao 3a. Thể tích của hình hộp đã cho bằng

Cho hàm số đa thức bậc bốn y = f(x), biết hàm số có ba điểm cực trị x =  - 3; x = 3; x = 5. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số $g\left( x \right) = f\left( {{e^{{x^3} + 3{x^2}}} - m} \right)$ có đúng 7 điểm cực trị 

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(\alpha)$: 2x + 3z - 1 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$?