Cho hàm số f(x) có \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\) và \(f'\left( x \right) = x\sin x\). Giả sử rằng \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x.f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{a}{b} - \frac{{{\pi ^2}}}{c}\) (với a, b, c là các số nguyên dương, \(\frac ab\) tối giản). Khi đó a +b + c bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiDo \(f'\left( x \right) = x\sin x\) nên \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {x\sin x{\rm{d}}x = - \int {x{\rm{d}}\cos x} = } - x\cos x + \int {\cos x{\rm{d}}x} = - x\cos x + \sin x + C\).
Theo giả thiết \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2 \Leftrightarrow 1 + C = 2 \Rightarrow C = 1\). Suy ra \(f\left( x \right) = \sin x - x\cos x + 1\).
\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x.f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x\left( {\sin x - x\cos x + 1} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x\cos x - x{{\cos }^2}x + \cos x} \right){\rm{d}}x} \)
\( = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x{\rm{d}}x} - \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\left( {1 + \cos 2x} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x{\rm{d}}x} = - \frac{1}{4}\cos 2x\left| \begin{array}{l} \frac{\pi }{2}\\ 0 \end{array} \right. + \sin x\left| \begin{array}{l} \frac{\pi }{2}\\ 0 \end{array} \right. - \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x{\rm{d}}x} - \frac{1}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x{\rm{d}}\sin 2x} \)
\( = \frac{1}{2} + 1 - \frac{{{x^2}}}{4}\left| \begin{array}{l} \frac{\pi }{2}\\ 0 \end{array} \right. - \frac{1}{4}x\sin 2x\left| \begin{array}{l} \frac{\pi }{2}\\ 0 \end{array} \right. + \frac{1}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x{\rm{d}}x} = \frac{3}{2} - \frac{{{\pi ^2}}}{{16}} - \frac{1}{8}\cos 2x\left| \begin{array}{l} \frac{\pi }{2}\\ 0 \end{array} \right. = \frac{7}{4} - \frac{{{\pi ^2}}}{{16}}\)
Vậy a = 7,b = 4,c = 16. Suy ra a + b + c = 27.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [0;20] sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right) = \left| {\left| {2f\left( x \right) + m + 4} \right| - f(x) - 3} \right|\) trên đoạn [-2;2] không bé hơn 1?
.png)
-
Cho số phức \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) có phần thực khác 0. Biết số phức \(w = i{z^2} + 2\overline z \) là số thuần ảo. Tập hợp các điểm biểu diễn của z là một đường thẳng đi qua điểm nào dưới đây?
-
Xét tất cả các số thực dương a và b thỏa mãn \({\log _3}a = {\log _{27}}\left( {{a^2}\sqrt b } \right)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng
-
Cho các số thực a, b, c thuộc khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(\log _{\sqrt a }^2b + {\log _b}c.{\log _b}\left( {\frac{{{c^2}}}{b}} \right) + 9{\log _a}c = 4{\log _a}b\). Giá trị của biểu thức \({\log _a}b + {\log _b}{c^2}\) bằng
-
Cho hàm số \(f(x) = \frac{{\left( {m + 1} \right)\sqrt { - 2x + 3} - 1}}{{ - \sqrt { - 2x + 3} + \frac{2}{m}}}\) (m khác 0 và là tham số thực). Tập hợp m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \frac{1}{2};\,\,1} \right)\) có dạng \(S = \left( { - \infty ;\,\,a} \right) \cup \left( {b;\,\,c} \right] \cup \left[ {d;\,\, + \infty } \right)\), với a, b, c, d là các số thực. Tính P = a - b + c - d.
-
Cho hàm số y = f(x), bảng xét dấu của f'(x) như sau
.PNG)
Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
-
Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC có \(AB = a;\,AC = a\sqrt 2 \) và \(\widehat {CAB} = 135^\circ \), tam giác SAB vuông tại B và tam giác SAC vuông tại A. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) bằng 30o. Tính thể tích khối chóp S.ABC
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Khẳng định nào sau đây đúng
-
Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = 3 - t\\ z = 3t \end{array} \right.\)?
-
Hãy tính diện tích phần tô đậm trong hình vẽ dưới đây.
.png)
-
Cho hình hộp có đáy là hình vuông cạnh bằng a và chiều cao 3a. Thể tích của hình hộp đã cho bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 3a,AD = DC = a. Gọi I là trung điểm của AD, biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60o. Gọi M điểm trên AB sao cho AM = 2a, tính khoảng cách giữa MD và SC.
-
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R thoả mãn \(f'\left( x \right) - f\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){e^x}\) và f(0) = -2.
Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình f(x) = 0 có giá trị là
-
Cho hàm số y = f(x) và f(x) > 0, với mọi x thuộc R. Biết hàm số y = f'(x) có bảng biến thiên như hình vẽ và \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{137}}{{16}}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ { - 2020\,;\,\,2020} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = {e^{ - {x^2} + 4mx - 5}}.f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\).
-
Trong không gian Oxyz, tọa độ tâm của mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6 = 0\) là
-
Có tất cả bao nhiêu cặp số (a;b) với a, b là các số nguyên dương thỏa mãn: \({\log _3}\left( {a + b} \right) + {\left( {a + b} \right)^3} = 3\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 3ab\left( {a + b - 1} \right) + 1\).
-
Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Một mặt phẳng qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông có diện tích bằng 4. Góc giữa đường cao của hình nón và mặt phẳng thiết diện bằng 30o. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 10{x^2} + 1\) trên đoạn [-3;2] bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + z - 3 = 0\). Gọi (S) là mặt cầu có tâm I thuộc \(\Delta\) và tiếp xúc với (P) tại điểm H(1;-1;0). Phương trình của (S) là
