Cho hàm số f(x) có \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\) và \(f'\left( x \right) = x\sin x\). Giả sử rằng \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x.f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{a}{b} - \frac{{{\pi ^2}}}{c}\) (với a, b, c là các số nguyên dương, \(\frac ab\) tối giản). Khi đó a +b + c bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiDo \(f'\left( x \right) = x\sin x\) nên \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {x\sin x{\rm{d}}x = - \int {x{\rm{d}}\cos x} = } - x\cos x + \int {\cos x{\rm{d}}x} = - x\cos x + \sin x + C\).
Theo giả thiết \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2 \Leftrightarrow 1 + C = 2 \Rightarrow C = 1\). Suy ra \(f\left( x \right) = \sin x - x\cos x + 1\).
\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x.f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x\left( {\sin x - x\cos x + 1} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x\cos x - x{{\cos }^2}x + \cos x} \right){\rm{d}}x} \)
\( = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x{\rm{d}}x} - \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\left( {1 + \cos 2x} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x{\rm{d}}x} = - \frac{1}{4}\cos 2x\left| \begin{array}{l} \frac{\pi }{2}\\ 0 \end{array} \right. + \sin x\left| \begin{array}{l} \frac{\pi }{2}\\ 0 \end{array} \right. - \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x{\rm{d}}x} - \frac{1}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x{\rm{d}}\sin 2x} \)
\( = \frac{1}{2} + 1 - \frac{{{x^2}}}{4}\left| \begin{array}{l} \frac{\pi }{2}\\ 0 \end{array} \right. - \frac{1}{4}x\sin 2x\left| \begin{array}{l} \frac{\pi }{2}\\ 0 \end{array} \right. + \frac{1}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x{\rm{d}}x} = \frac{3}{2} - \frac{{{\pi ^2}}}{{16}} - \frac{1}{8}\cos 2x\left| \begin{array}{l} \frac{\pi }{2}\\ 0 \end{array} \right. = \frac{7}{4} - \frac{{{\pi ^2}}}{{16}}\)
Vậy a = 7,b = 4,c = 16. Suy ra a + b + c = 27.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai
Câu hỏi liên quan
-
Cho số phức \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) có phần thực khác 0. Biết số phức \(w = i{z^2} + 2\overline z \) là số thuần ảo. Tập hợp các điểm biểu diễn của z là một đường thẳng đi qua điểm nào dưới đây?
-
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x - 6{x^2}\) là
-
Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(1;2;3) trên mặt phẳng (Oyz) có tọa độ là
-
Cho hàm số y = f(x) và f(x) > 0, với mọi x thuộc R. Biết hàm số y = f'(x) có bảng biến thiên như hình vẽ và \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{137}}{{16}}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ { - 2020\,;\,\,2020} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = {e^{ - {x^2} + 4mx - 5}}.f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\).
-
Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC có \(AB = a;\,AC = a\sqrt 2 \) và \(\widehat {CAB} = 135^\circ \), tam giác SAB vuông tại B và tam giác SAC vuông tại A. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) bằng 30o. Tính thể tích khối chóp S.ABC
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn \({x^2}f\left( {1 - x} \right) + 2f\left( {\frac{{2x - 2}}{x}} \right) = \frac{{ - {x^4} + {x^3} + 4x - 4}}{x},\forall x \ne 0,x \ne 1\). Khi đó \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}} x\) có giá trị là
-
Có tất cả bao nhiêu cặp số (a;b) với a, b là các số nguyên dương thỏa mãn: \({\log _3}\left( {a + b} \right) + {\left( {a + b} \right)^3} = 3\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 3ab\left( {a + b - 1} \right) + 1\).
-
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho hàm số đa thức bậc bốn y = f(x), biết hàm số có ba điểm cực trị x = - 3; x = 3; x = 5. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{e^{{x^3} + 3{x^2}}} - m} \right)\) có đúng 7 điểm cực trị
-
Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = 3 - t\\ z = 3t \end{array} \right.\)?
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 10{x^2} + 1\) trên đoạn [-3;2] bằng
-
Lớp 11A có 20 học sinh nam và 25 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn một đôi song ca gồm 1 nam và 1 nữ?
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + z - 3 = 0\). Gọi (S) là mặt cầu có tâm I thuộc \(\Delta\) và tiếp xúc với (P) tại điểm H(1;-1;0). Phương trình của (S) là
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Khẳng định nào sau đây đúng
-
Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Một mặt phẳng qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông có diện tích bằng 4. Góc giữa đường cao của hình nón và mặt phẳng thiết diện bằng 30o. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
-
Cho hàm số bậc ba f(x) có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(x) + 1 = m có 3 nghiệm phân biệt là
.png)
-
Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tìm xác suất để số được chọn có các chữ số sắp xếp theo thứ tự tăng dần và không chứa hai chữ số nguyên nào liên tiếp nhau.
-
Cho hàm số y = f(x), bảng xét dấu của f'(x) như sau
.PNG)
Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 3a,AD = DC = a. Gọi I là trung điểm của AD, biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60o. Gọi M điểm trên AB sao cho AM = 2a, tính khoảng cách giữa MD và SC.
-
Gọi k và l lần lượt là số đường tiệm cận ngang và số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {2 - x} }}{{\left( {x - 1} \right)\sqrt x }}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
