Cho phương trình $\sqrt {\log _3^2x - 4{{\log }_3}x - 5} = m\left( {{{\log }_3}x + 1} \right)$ với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm thuộc $\left[ {27; + \infty } \right)$.

Trong không gian Oxyz, cho các vectơ $\overrightarrow a = \left( { - 2;1;2} \right)$, $\overrightarrow b = \left( {1; - 1;0} \right)$. Tích vô hướng $\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right).\overrightarrow b$ bằng

Cho các số thực a, b, c thuộc khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$ và thỏa mãn $\log _{\sqrt a }^2b + {\log _b}c.{\log _b}\left( {\frac{{{c^2}}}{b}} \right) + 9{\log _a}c = 4{\log _a}b$. Giá trị của biểu thức ${\log _a}b + {\log _b}{c^2}$ bằng

Xét tất cả các số thực dương a và b thỏa mãn ${\log _3}a = {\log _{27}}\left( {{a^2}\sqrt b } \right)$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Có tất cả bao nhiêu cặp số (a;b) với a, b là các số nguyên dương thỏa mãn: ${\log _3}\left( {a + b} \right) + {\left( {a + b} \right)^3} = 3\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 3ab\left( {a + b - 1} \right) + 1$.

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây đúng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x - y + z - 3 = 0$. Gọi (S) là mặt cầu có tâm I thuộc $\Delta$ và tiếp xúc với (P) tại điểm H(1;-1;0). Phương trình của (S) là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 3a,AD = DC = a. Gọi I là trung điểm của AD, biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60^o. Gọi M điểm trên AB sao cho AM = 2a, tính khoảng cách giữa MD và SC.

Diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng

Cho hàm số y = ax⁴ + bx² + c, $(a,b,c \in R)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình dưới đây? 

Hãy tính diện tích phần tô đậm trong hình vẽ dưới đây.

Gọi k và l lần lượt là số đường tiệm cận ngang và số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{\sqrt {2 - x} }}{{\left( {x - 1} \right)\sqrt x }}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Lớp 11A có 20 học sinh nam và 25 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn một đôi song ca gồm 1 nam và 1 nữ?

Tập nghiệm của bất phương trình ${9^{\log _9^2x}} + {x^{{{\log }_9}x}} \le 18$ là

Cho mặt cầu (S). Biết rằng khi cắt mặt cầu (S) bởi một mặt phẳng cách tâm một khoảng có độ dài là 3 thì được giao tuyến là đường tròn (T) có chu vi là $12 \pi$. Diện tích của mặt cầu (S) bằng

Gọi $\overline z$ là số phức liên hợp của số phức z =  - 3 + 4i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức $\overline z$.

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn ${x^2}f\left( {1 - x} \right) + 2f\left( {\frac{{2x - 2}}{x}} \right) = \frac{{ - {x^4} + {x^3} + 4x - 4}}{x},\forall x \ne 0,x \ne 1$. Khi đó $\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}} x$ có giá trị là

Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC có $AB = a;\,AC = a\sqrt 2$ và $\widehat {CAB} = 135^\circ$, tam giác SAB vuông tại B và tam giác SAC vuông tại A. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) bằng 30^o. Tính thể tích khối chóp S.ABC

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(1;2;3) trên mặt phẳng (Oyz) có tọa độ là

Tìm tập xác định của hàm số $y = {e^{\log \left( { - {x^2} + 3x} \right)}}$