Cho hàm số đa thức bậc bốn y = f(x), biết hàm số có ba điểm cực trị x = - 3; x = 3; x = 5. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{e^{{x^3} + 3{x^2}}} - m} \right)\) có đúng 7 điểm cực trị
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(g'\left( x \right) = \left( {3{x^2} + 6x} \right){e^{{x^3} + 3{x^2}}}.f'\left( {{e^{{x^3} + 3{x^2}}} - m} \right)\)
\(\begin{array}{l} g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {3{x^2} + 6x} \right){e^{{x^3} + 3{x^2}}}.f'\left( {{e^{{x^3} + 3{x^2}}} - m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\;\;\;\;\\ x = - 2\\ {e^{{x^3} + 3{x^2}}} - m = - 3\\ {e^{{x^3} + 3{x^2}}} - m = 3\\ {e^{{x^3} + 3{x^2}}} - m = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 2\\ {e^{{x^3} + 3{x^2}}} = m - 3,\;\left( 1 \right)\\ {e^{{x^3} + 3{x^2}}} = m + 3,\;\left( 2 \right)\\ {e^{{x^3} + 3{x^2}}} = m + 5,\;\left( 3 \right) \end{array} \right.\;\; \end{array}\)
Hàm số g(x) có 7 điểm cực trị khi và chỉ khi tổng số nghiệm đơn và bội lẻ, khác 0 và -2 của các phương trình (1), (2), (3) là 5.
Xét hàm số \(h\left( x \right) = {e^{{x^3} + 3{x^2}}}\) có \(h'\left( x \right) = \left( {3{x^2} + 6x} \right){e^{{x^3} + 3{x^2}}}\). Ta có \(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = - 2} \end{array}} \right.\).
Bảng biến thiên:
.png)
Khi đó có 3 trường hợp sau:
Trường hợp 1:
.png)
Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m + 3 \ge {e^4}\;\;\;\;\;\;\;\;}\\ {1 < m - 3 < {e^4}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \ge {e^4} - 3 \approx 51,6\;\;\;\;\;\;\;\;}\\ {4 < m < {e^4} + 3 \approx 57,6} \end{array}} \right.\)
Do m nguyên nên \(m \in \left\{ {52;\,53;\,54;\,55;\,56;\,57} \right\}\).
Trường hợp 2:
.png)
Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l} m + 5 \ge {e^4}\\ 1 < m + 3 < {e^4}\\ 0 < m - 3 \le 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > {e^4} - 5 \approx 49,6\\ - 2 < m < {e^4} - 3\\ 3 < m \le 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \).
Trường hợp 3:
.png)
Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 < m + 5 < {e^4}}\\ {m + 3 \le 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\ {m - 3 > 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 < m < {e^4} - 5 \approx 49,6\\ m \le - 2\\ m > 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \).
Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu bài toán.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((\alpha)\): 2x + 3z - 1 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của \((\alpha)\)?
-
Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c, \((a,b,c \in R)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Mệnh đề nào sau đây đúng?
.png)
-
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm M(1;2;3) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z - 3 = 0\) có phương trình là
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 3a,AD = DC = a. Gọi I là trung điểm của AD, biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60o. Gọi M điểm trên AB sao cho AM = 2a, tính khoảng cách giữa MD và SC.
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({9^{\log _9^2x}} + {x^{{{\log }_9}x}} \le 18\) là
-
Trong không gian Oxyz, tọa độ tâm của mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6 = 0\) là
-
Trong không gian Oxyz, cho các vectơ \(\overrightarrow a = \left( { - 2;1;2} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( {1; - 1;0} \right)\). Tích vô hướng \(\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right).\overrightarrow b \) bằng
-
Gọi \(\overline z \) là số phức liên hợp của số phức z = - 3 + 4i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(\overline z \).
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình dưới đây?
.png)
-
Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D', có đáy là hình bình hành cạnh AB = a, \(AD = a\sqrt 3 \), \(\widehat {BAD} = 120^\circ \) và AB' = 2a (minh họa như hình dưới đây). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
.png)
-
Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tìm xác suất để số được chọn có các chữ số sắp xếp theo thứ tự tăng dần và không chứa hai chữ số nguyên nào liên tiếp nhau.
-
Cho số phức \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) có phần thực khác 0. Biết số phức \(w = i{z^2} + 2\overline z \) là số thuần ảo. Tập hợp các điểm biểu diễn của z là một đường thẳng đi qua điểm nào dưới đây?
-
Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [0;20] sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right) = \left| {\left| {2f\left( x \right) + m + 4} \right| - f(x) - 3} \right|\) trên đoạn [-2;2] không bé hơn 1?
.png)
-
Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Một mặt phẳng qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông có diện tích bằng 4. Góc giữa đường cao của hình nón và mặt phẳng thiết diện bằng 30o. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
-
Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC có \(AB = a;\,AC = a\sqrt 2 \) và \(\widehat {CAB} = 135^\circ \), tam giác SAB vuông tại B và tam giác SAC vuông tại A. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) bằng 30o. Tính thể tích khối chóp S.ABC
-
Nếu \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 5\) và \(\int\limits_1^2 {\left[ {2f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 13\) thì \(\int\limits_1^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng
-
Cho \({z_1} = 4 - 2i\). Hãy tìm phần ảo của số phức \({z_2} = {\left( {1 - 2i} \right)^2} + \overline {{z_1}} \).
-
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Tổng tất cả giá trị nguyên của tham số m để phương trình \(f\left( {\sqrt {2f\left( {\cos x} \right)} } \right) = m\) có nghiệm \(x \in \left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right).\)
.png)
-
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R thoả mãn \(f'\left( x \right) - f\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){e^x}\) và f(0) = -2.
Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình f(x) = 0 có giá trị là
