Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB=4a,BC=3\sqrt{2}a,\)\(\widehat{ABC}=45{}^\circ ;\widehat{SAC}=\widehat{SBC}=90{}^\circ \); Sin góc giữa hai mặt phẳng\(\left( SAB \right)\)và\(\left( SBC \right)\) bằng\(\frac{\sqrt{2}}{4}.\) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn A
Do \(SA\bot AC,\,SB\bot BC\) nên \(S,A,B,C\) nằm trên mặt cầu đường kính \(SC\),
Ta có \(A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-2AB.BC.\sin {{45}^{0}}=10{{a}^{2}}\Rightarrow AC=a\sqrt{10}\).
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(\left( ABC \right)\).
Ta có \(CA\bot SA\) và \(CA\bot SH\) nên \(CA\bot HA\).
Tương tự: \(CB\bot HB\).
Khi đó \(ABCH\) nội tiếp đường tròn đường kính \(HC\) nên \(HC=\frac{AC}{\sin {{45}^{0}}}=2\sqrt{5}a\).
Ta có: \(HB=\sqrt{H{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}\)
Gọi \(K,I\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) và của \(H\) lên \(AB\). Khi đó \(\Delta CKB\) và \(\Delta HIB\)vuông cân nên \(CK=\frac{3\sqrt{2}a}{\sqrt{2}}=3a\) và \(HI=\frac{HB}{\sqrt{2}}=a\).
Do đó \(\frac{d\left( H,\left( SAB \right) \right)}{d\left( C,\left( SAB \right) \right)}=\frac{HI}{CK}=\frac{1}{3}\)
Ta có \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{4}\Rightarrow \frac{d\left( C,\left( SAB \right) \right)}{CB}=\frac{\sqrt{2}}{4}\Rightarrow d\left( C,\left( SAB \right) \right)=CB.\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{3a}{2}\Rightarrow d\left( H,\left( SAB \right) \right)=\frac{a}{2}\).
Khi đó \(\frac{1}{S{{H}^{2}}}=\frac{1}{{{d}^{2}}\left( H,\left( SAB \right) \right)}-\frac{1}{H{{I}^{2}}}=\frac{4}{{{a}^{2}}}-\frac{1}{{{a}^{2}}}=\frac{3}{{{a}^{2}}}\Rightarrow S{{H}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{3}\).
Vậy \(SC=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{3}+20{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{183}}{3}\), suy ra bán kính mặt cầu \(R=\frac{a\sqrt{183}}{6}\).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Sở GD&ĐT Bắc Ninh lần 1
Câu hỏi liên quan
-
Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ?
-
Cho cấp số nhân \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{1}}=2\) và công bội \(q=-3\). Giá trị của \({{u}_{2}}\) bằng
-
Hình bát diện đều thuộc loại khối đa diện nào sau dây?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có bảng xét dấu của \({f}'\left( x \right)\) như sau:
Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
-
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA=3\sqrt{2}a\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\).
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y=\ln \left( {{x}^{2}}-2mx+4 \right)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}.\)
-
Gọi \(l,h,r\) lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy. Diện tích xung quanh
\({{S}_{xq}}\) của hình nón là:
-
Cho phương trình \(\left( 4\log _{2}^{2}x+{{\log }_{2}}x-5 \right)\sqrt{{{7}^{x}}-m}=0\) (\(m\) là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?
-
Mệnh đề nào dưới đây sai?
-
Có bao nhiêu số nguyên dương của tham số m để hàm số \(y=\frac{\cos x+1}{10\cos x+m}\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\cdot \)
-
Cho đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ.
Số nghiệm của phương trình \(\left| 2f\left( x \right)-3 \right|=1\) là
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{2}^{x\,-\,3}}\,>\,8\) là
-
Hàm số nào dưới đây không có cực trị?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực đại của hàm số đã cho là:
-
Tích tất cả các nghiệm của phương trình \(\log _{3}^{2}x-2{{\log }_{3}}x-7=0\)là
-
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y=\left| 3{{x}^{4}}-m{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+m-3 \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;+\infty \right)\)?
-
Tập xác định của hàm số \(y={{\left( 1-x \right)}^{-2}}\) là
-
Cho khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=3a,\)\(AC=4a,\) \(BC=5a,\)khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \({B}'{C}'\) bằng \(2a.\) Gọi \(M,\)\(N\) lần lượt là trung điểm của \({A}'{B}'\) và \({A}'{C}',\) (tham khảo hình vẽ dưới đây). Thể tích \(V\) của khối chóp \(A.BCNM\) là
-
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( O' \right)\), thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông. Gọi\(A\) và \(B\)là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn\(\left( O' \right)\)và \(\left( O \right)\). Biết \(AB=2a\) và khoảng cách giữa \(AB\) và \(OO'\)bằng\(\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Tính diện tích xung quanh của hình trụ.
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ -4;\,4 \right]\) và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới.
Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ -4;\,4 \right]\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)=\left| f\left( {{x}^{3}}-3x+2 \right)+2f\left( m \right) \right|\) có giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ -1;1 \right]\) bằng \(5\)?
