Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB=4a,BC=3\sqrt{2}a,\)\(\widehat{ABC}=45{}^\circ ;\widehat{SAC}=\widehat{SBC}=90{}^\circ \); Sin góc giữa hai mặt phẳng\(\left( SAB \right)\)và\(\left( SBC \right)\) bằng\(\frac{\sqrt{2}}{4}.\) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn A
Do \(SA\bot AC,\,SB\bot BC\) nên \(S,A,B,C\) nằm trên mặt cầu đường kính \(SC\),
Ta có \(A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-2AB.BC.\sin {{45}^{0}}=10{{a}^{2}}\Rightarrow AC=a\sqrt{10}\).
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(\left( ABC \right)\).
Ta có \(CA\bot SA\) và \(CA\bot SH\) nên \(CA\bot HA\).
Tương tự: \(CB\bot HB\).
Khi đó \(ABCH\) nội tiếp đường tròn đường kính \(HC\) nên \(HC=\frac{AC}{\sin {{45}^{0}}}=2\sqrt{5}a\).
Ta có: \(HB=\sqrt{H{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}\)
Gọi \(K,I\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) và của \(H\) lên \(AB\). Khi đó \(\Delta CKB\) và \(\Delta HIB\)vuông cân nên \(CK=\frac{3\sqrt{2}a}{\sqrt{2}}=3a\) và \(HI=\frac{HB}{\sqrt{2}}=a\).
Do đó \(\frac{d\left( H,\left( SAB \right) \right)}{d\left( C,\left( SAB \right) \right)}=\frac{HI}{CK}=\frac{1}{3}\)
Ta có \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{4}\Rightarrow \frac{d\left( C,\left( SAB \right) \right)}{CB}=\frac{\sqrt{2}}{4}\Rightarrow d\left( C,\left( SAB \right) \right)=CB.\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{3a}{2}\Rightarrow d\left( H,\left( SAB \right) \right)=\frac{a}{2}\).
Khi đó \(\frac{1}{S{{H}^{2}}}=\frac{1}{{{d}^{2}}\left( H,\left( SAB \right) \right)}-\frac{1}{H{{I}^{2}}}=\frac{4}{{{a}^{2}}}-\frac{1}{{{a}^{2}}}=\frac{3}{{{a}^{2}}}\Rightarrow S{{H}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{3}\).
Vậy \(SC=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{3}+20{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{183}}{3}\), suy ra bán kính mặt cầu \(R=\frac{a\sqrt{183}}{6}\).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Sở GD&ĐT Bắc Ninh lần 1
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ -1;2 \right]\) và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ -1;2 \right]\). Ta có \(M+2m\)bằng:
-
Cho đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ.
Số nghiệm của phương trình \(\left| 2f\left( x \right)-3 \right|=1\) là
-
Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a,\) cạnh bên \(SA=y\,\,\left( y>0 \right).\) và vuông góc với mặt phẳng đáy \(\left( ABCD \right)\). Trên cạnh \(AD\) lấy điểm \(M\) và đặt \(AM=x\,(0 < x < a).\) Tính thể tích lớn nhất \({{V}_{\max }}\) của khối chóp \(S.ABCM,\) biết \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{a}^{2}}.\)
-
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\)và \(\left( Q \right)\) song song với nhau và cùng cắt khối cầu tâm \(O\) bán kính \(4\sqrt{3}\) thành hai hình tròn có cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai hình tròn này và có đáy là hình tròn còn lại. Khi diện tích xung quanh của hình nón là lớn nhất, khoảng cách \(h\) giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\)và \(\left( Q \right)\) bằng:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có bảng xét dấu của \({f}'\left( x \right)\) như sau:
Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
-
Cho biểu thức \(\sqrt[3]{4\sqrt{2\sqrt[5]{8}}}={{2}^{\frac{m}{n}}}\), trong đó \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản. Gọi \(P={{m}^{2}}+{{n}^{2}}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho phương trình \(\left( 4\log _{2}^{2}x+{{\log }_{2}}x-5 \right)\sqrt{{{7}^{x}}-m}=0\) (\(m\) là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?
-
Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(\alpha \)là góc giữa \(\left( AC{D}' \right)\) và \(\left( ABCD \right)\). Giá trị của \(\tan \alpha \) bằng:
-
Nghiệm của phương trình \({{\left( \frac{1}{5} \right)}^{{{x}^{2}}-2x-3}}={{5}^{x+1}}\) là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ -4;\,4 \right]\) và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới.
Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ -4;\,4 \right]\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)=\left| f\left( {{x}^{3}}-3x+2 \right)+2f\left( m \right) \right|\) có giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ -1;1 \right]\) bằng \(5\)?
-
Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x-1\) trên đoạn\(\left[ 1;5 \right]\). Tính giá trị \(T=2M-m\).
-
Gọi \(n\) là số nguyên dương bất kì, \(n\ge 2\), công thức nào dưới đây đúng?
-
Cho có tháp nước như hình dưới đây, tháp được thiết kế gồm thân tháp có dạng hình trụ, phần mái phía trên dạng hình nón và đáy là nửa hình cầu. Không gian bên trong toàn bộ tháp được minh họa theo hình vẽ với đường kính đáy hình trụ, hình cầu và đường kính đáy của hình nón đều bằng 3m, chiều cao hình trụ là 2m, chiều cao của hình nón là 1m.
Thể tích của toán bộ không gian bên trong tháp nước gần nhất với giá trị nào sau đây?
-
Cho hàm số \(y=f\left( 2-x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Tổng các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(3{{f}^{2}}\left( {{x}^{2}}-4x \right)-\left( m+2 \right)f\left( {{x}^{2}}-4x \right)+m-1=0\) có đúng 8 nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng \(\left( 0;+\infty \right)\)?
-
Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ?
-
Lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\)có thể tích bằng \(V\). Khi đó, thể tích khối chóp \(A.AB{{C}^{'}}\) bằng:
-
Thể tích của khối chóp có diện tích đáy \(B=6\) và chiều cao \(h=4\) là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực đại của hàm số đã cho là:
-
Có bao nhiêu số nguyên dương của tham số m để hàm số \(y=\frac{\cos x+1}{10\cos x+m}\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\cdot \)
-
Hàm số nào dưới đây không có cực trị?
