Cho hàm số \(y=\frac{x+1}{x-1}\) có đồ thị là (C). Gọi \(M\left( {{x}_{M}};{{y}_{M}} \right)\) là một điểm bất kỳ trên (C). Khi tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất, tính tổng \({{x}_{M}}+{{y}_{M}}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(M\left( a;1+\frac{2}{a-1} \right)\in \left( C \right),d\left( M,Ox \right)=\left| 1+\frac{2}{a-1} \right|,d\left( M,Oy \right)=\left| a \right|.\)
Ta thấy khi \(M\left( -1;0 \right)\in \left( C \right)\Rightarrow d=1.\) Do đó tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng 1. Từ đó: \(\left\{ \begin{align} & \left| a \right|<1 \\ & \left| 1+\frac{2}{a-1} \right|<1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow -1<a<0.\)
Suy ra: \(d\left( M,Ox \right)+d\left( M,Oy \right)=\left| 1+\frac{2}{a-1} \right|+\left| a \right|=-a-1-\frac{2}{a-1}=1-a+\frac{2}{1-a}-2\ge 2\sqrt{\left( 1-a \right).\frac{2}{1-a}}-2=2\sqrt{2}-2.\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(1-a=\frac{2}{1-a}\Leftrightarrow {{\left( 1-a \right)}^{2}}=2\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a-1=\sqrt{2} \\ & a-1=-\sqrt{2} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow a=1-\sqrt{2}.\)
Vậy \({{x}_{M}}+{{y}_{M}}=2-2\sqrt{2}.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Huỳnh Thúc Kháng
Câu hỏi liên quan
-
Tích phân \(\int\limits_{1}^{8}{\sqrt[3]{x}\text{ d}x}\) bằng
-
Cho khối hộp \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) có thể tích bằng \({{a}^{3}}.\) Biết tam giác \({A}'BD\) có diện tích bằng \({{a}^{2}},\) khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \(\left( {B}'{D}'C \right)\) bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm là \({f}'\left( x \right)={{x}^{3}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right)\). Khoảng nghịch biến của hàm số là
-
Khẳng định nào trong các khẳng định sau là sai?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right).\) Đồ thị của hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) như hình bên. Đặt \(g\left( x \right)={{x}^{3}}-3f\left( x \right).\)
.PNG)
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, \(SD=\frac{3a}{2}\). Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \(\left( SBD \right)\).
-
Gọi \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là hai nghiệm của phương trình \({{z}^{2}}+z+1=0.\) Tính \(P=z_{1}^{2020}+z_{2}^{2020}.\)
-
Cho biết ba số khác không a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
-
Cho \(F\left( x \right)=\frac{-1}{2{{\sin }^{2}}x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{f\left( x \right)}{{{\cos }^{2}}x}.\) Tìm họ nguyên hàm của hàm số \({f}'\left( x \right)\tan x.\)
-
Cho các số thực x,y thỏa mãn \(\sqrt{2x+3}+\sqrt{y+3}=4\). Giá trị nhỏ nhất của \(\sqrt{x+2}+\sqrt{y+9}\) bằng
-
Cho tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\pi }{{{x}^{2}}\cos x\text{d}x}\) và \(u={{x}^{2}},\text{d}v=\cos x\,\text{d}x\). Khẳng định nào sau đây đúng ?
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=-\frac{{{x}^{3}}}{3}+m{{x}^{2}}+2\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)
-
Hàm số \(y=\frac{2x-1}{x-2}\) nghịch biến trên khoảng nào ?
-
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên \(\left( a;b \right)\). Phát biểu nào sau đây là đúng ?
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M\left( -3;2;5 \right).\) Tìm tọa độ điểm \({M}'\) là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox.
-
Một hộp chứa 7 viên bi khác nhau. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi trong hộp. Số cách lấy là
-
Một đề trắc nghiệm gồm 20 câu, mỗi câu có 4 đáp án và chỉ có một đáp án đúng. Bạn Anh làm đúng 12 câu, còn 8 câu bạn Anh đánh hú họa vào đáp án mà Anh cho là đúng. Mỗi câu đúng được 0,5 điểm. Tính xác suất để Anh được 9 điểm ?
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 1;2;1 \right)\) và \(B\left( 4;5;-2 \right).\) Đường thẳng AB cắt mặt phẳng \(\left( P \right):3x-4y+5z+6=0\) tại điểm M. Tính tỉ số \(\frac{BM}{AM}.\)
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):3x-z+2=0.\) Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)?\)
-
Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt ?
