Tìm m để phương trình \(\cos 2x+2(m+1)\sin x-2m-1=0\) có đúng 3 nghiệm \(x\in \left( 0;\pi  \right).\)

Xét các số nguyên dương a,b sao cho phương trình \(b{{\ln }^{2}}x+a\ln x+3=0\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) và phương trình \(3{{\log }^{2}}x+a\log x+b=0\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{3}},{{x}_{4}}\) thỏa mãn \(\ln {{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}^{10}}>\log {{\left( {{x}_{3}}{{x}_{4}} \right)}^{e}}.\) Tính giá trị nhỏ nhất \({{S}_{\min }}\) của S=5a+3b.

Ông Anh muốn mua một chiếc ô tô trị giá 700 triệu đồng nhưng ông chỉ có 500 triệu đồng và muốn vay ngân hàng 200 triệu đồng theo phương thức trả góp với lãi suất 0,75% tháng. Hỏi hàng tháng ông Anh phải trả số tiền là bao nhiêu để sau đúng hai năm thì trả hết nợ ngân hàng?

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 0;\frac{\pi }{4} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=0, \int\limits_{\text{0}}^{\frac{\pi }{\text{4}}}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}\text{d}x}=2\) và \(\int\limits_{\text{0}}^{\frac{\pi }{\text{4}}}{\sin 2x.f\left( x \right)\text{d}x}=\frac{1}{2}.\) Tích phân \(\int\limits_{\text{0}}^{\frac{\pi }{\text{4}}}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {{P}'} \right)\) lần lượt có phương trình x+2y-2z+1=0 và x-2y+2z-1=0. Gọi \(\left( S \right)\) là tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {{P}'} \right).\) Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

Một hộp chứa 7 viên bi khác nhau. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi trong hộp. Số cách lấy là

Hàm số \(y=\frac{2x-1}{x-2}\) nghịch biến trên khoảng nào ?

Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn ngoại tiếp hai tam giác ABC và \({A}'{B}'{C}'.\) Diện tích xung quanh của hình trụ bằng

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng 3a. Một hình nón có đỉnh S và đáy là hình tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Diện tích xung quanh của hình nón bằng

Trong không gian Oxyz, cho \(\vec{a}=\left( 1;1;-2 \right)\) và \(\vec{b}=\left( -2;1;1 \right).\) Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}.\) Khẳng định nào dưới đây đúng ?

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=-\frac{{{x}^{3}}}{3}+m{{x}^{2}}+2\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

Biết \({{z}_{0}}\) là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình \({{z}^{2}}+4z+8=0.\) Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây biểu diễn số phức \(w={{z}_{0}}.\left( -3+5i \right)?\)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3a. Biết tam giác SBD là tam giác đều, thể tích khối chóp S.ABCD bằng

Nếu \({{\left( 7+4\sqrt{3} \right)}^{a-1}}<7-4\sqrt{3}\) thì

Gọi \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là hai nghiệm của phương trình \({{z}^{2}}+z+1=0.\) Tính \(P=z_{1}^{2020}+z_{2}^{2020}.\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét mặt cầu có phương trình \({{x}^{2}}-2ax+{{y}^{2}}-2by+{{\left( z-c \right)}^{2}}=0,\) với a,b,c là các tham số và a,b không đồng thời bằng 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

Cho \({{z}_{1}}=2m+\left( m-2 \right)i\) và \({{z}_{2}}=3-4mi,\) với m là số thực. Biết \({{z}_{1}}.{{z}_{2}}\) là số thuần ảo. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

Giá trị của biểu thức \(K = \frac{{{2^3}{{.2}^{ - 1}} + {5^{ - 3}}{{.5}^4}}}{{{{10}^{ - 3}}:{{10}^{ - 2}} - {{(0,25)}^0}}}\) là

Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có cạnh đáy bằng 2a; O là trọng tâm tam giác ABC và \({A}'O=\frac{2\sqrt{6}a}{3}.\) Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) bằng

Cho tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\pi }{{{x}^{2}}\cos x\text{d}x}\) và \(u={{x}^{2}},\text{d}v=\cos x\,\text{d}x\). Khẳng định nào sau đây đúng ?

Tất cả giá trị của m để phương trình \(mx-\sqrt{x-3}=m+1\) có hai nghiệm thực phân biệt.