Xét các số nguyên dương a,b sao cho phương trình \(b{{\ln }^{2}}x+a\ln x+3=0\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) và phương trình \(3{{\log }^{2}}x+a\log x+b=0\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{3}},{{x}_{4}}\) thỏa mãn \(\ln {{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}^{10}}>\log {{\left( {{x}_{3}}{{x}_{4}} \right)}^{e}}.\) Tính giá trị nhỏ nhất \({{S}_{\min }}\) của S=5a+3b.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiHai phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \({{a}^{2}}-12b>0\left( * \right).\)
Ta có: \(\ln {{x}_{1}}+\ln {{x}_{2}}=-\frac{a}{b}\Leftrightarrow \ln \left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)=-\frac{a}{b}\) và \(\log {{x}_{3}}+\log {{x}_{4}}=-\frac{a}{3}\Leftrightarrow \log \left( {{x}_{3}}{{x}_{4}} \right)=-\frac{a}{3}.\)
Do đó: \(\ln {{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}^{10}}>\log {{\left( {{x}_{3}}{{x}_{4}} \right)}^{e}}\Leftrightarrow 10\ln \left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)>e\log \left( {{x}_{3}}{{x}_{4}} \right)\Leftrightarrow 10\left( -\frac{a}{b} \right)>e\left( -\frac{a}{3} \right)\)
\(\Leftrightarrow b>\frac{30}{e}\Rightarrow {{b}_{\min }}=12\)
Khi đó \(\left( * \right)\Leftrightarrow {{a}^{2}}>\frac{360}{e}\Rightarrow a>\sqrt{\frac{360}{e}}\Rightarrow {{a}_{\min }}=12\)
Vậy \({{S}_{\min }}=5.12+3.12=96.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Huỳnh Thúc Kháng
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left( -\infty ;0 \right)\) và \(\left( 0;+\infty \right)\) có bảng biến thiên như hình bên.
.PNG)
Mệnh đề nào sau đây đúng ?
-
Điểm \(M\) trong hình vẽ bên biểu diễn cho số phức
.PNG)
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3a. Biết tam giác SBD là tam giác đều, thể tích khối chóp S.ABCD bằng
-
Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có cạnh đáy bằng 2a; O là trọng tâm tam giác ABC và \({A}'O=\frac{2\sqrt{6}a}{3}.\) Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 3;-1;2 \right)\) và \(B\left( 5;3;-2 \right).\) Mặt cầu nhận AB làm đường kính có phương trình là
-
Cho tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\pi }{{{x}^{2}}\cos x\text{d}x}\) và \(u={{x}^{2}},\text{d}v=\cos x\,\text{d}x\). Khẳng định nào sau đây đúng ?
-
Cho \({{z}_{1}}=2m+\left( m-2 \right)i\) và \({{z}_{2}}=3-4mi,\) với m là số thực. Biết \({{z}_{1}}.{{z}_{2}}\) là số thuần ảo. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
-
Tính giá trị của biểu thức \(A={{\log }_{a}}\frac{1}{{{a}^{2}}}\) với a>0 và \(a\ne 1\)?
-
Hàm số \(y=\frac{2x-1}{x-2}\) nghịch biến trên khoảng nào ?
-
Cho biết ba số khác không a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
-
Một hộp chứa 7 viên bi khác nhau. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi trong hộp. Số cách lấy là
-
Giá trị của biểu thức \(K = \frac{{{2^3}{{.2}^{ - 1}} + {5^{ - 3}}{{.5}^4}}}{{{{10}^{ - 3}}:{{10}^{ - 2}} - {{(0,25)}^0}}}\) là
-
Tích phân \(\int\limits_{1}^{8}{\sqrt[3]{x}\text{ d}x}\) bằng
-
Tìm m để phương trình \(\cos 2x+2(m+1)\sin x-2m-1=0\) có đúng 3 nghiệm \(x\in \left( 0;\pi \right).\)
-
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên \(\left( a;b \right)\). Phát biểu nào sau đây là đúng ?
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):3x-z+2=0.\) Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)?\)
-
Cho \(F\left( x \right)=\frac{-1}{2{{\sin }^{2}}x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{f\left( x \right)}{{{\cos }^{2}}x}.\) Tìm họ nguyên hàm của hàm số \({f}'\left( x \right)\tan x.\)
-
Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn ngoại tiếp hai tam giác ABC và \({A}'{B}'{C}'.\) Diện tích xung quanh của hình trụ bằng
-
Một hình cầu có bán kính bằng \(\sqrt{3}.\) Thể tích của hình cầu bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 2 + 3t\\ z = 5 - t \end{array} \right.(t \in R).\) Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của d?
