Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ.
.png)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình \(f(x + 1) - \frac{{{m^2}}}{{{x^2} + 3x + 5}} = 0\) có nghiệm trên khoảng (-1;1)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện xác định: \(x \in R\).
Ta có phương trình \(f(x + 1) - \frac{{{m^2}}}{{{x^2} + 3x + 5}} = 0\) ⇔ \(f(x + 1) = \frac{{{m^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + \left( {x + 1} \right) + 3}}\) (1).
Đặt t = x + 1, khi đó \( - 1 < x < 1 \Leftrightarrow 0 < t < 2\).
Phương trình (1) trở thành \(f(t) = \frac{{{m^2}}}{{{t^2} + t + 3}} \Leftrightarrow ({t^2} + t + 3)f(t) = {m^2}\) (2).
Xét hàm số \(g(t) = ({t^2} + t + 3)f(t)\) trên khoảng (0,2).
g'(t) = (2t+1).f(t) + (t2 +t +3)f'(t)
Từ đồ thị hàm số y = f(x) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} f(t) > 0,\forall t \in \left( {0,2} \right)\\ {f'}(t) > 0;\forall t \in \left( {0,2} \right) \end{array} \right.\).
Mặt khác: \(2t + 1 > 0,{t^2} + t + 3 > 0,\forall t \in \left( {0.2} \right)\). Suy ra \({g'}(t) > 0,\forall t \in \left( {0,2} \right)\).
Và \(\left\{ \begin{array}{l} g(0) = 3.f(0) = 0\\ g(2) = 9.f(2) = 36 \end{array} \right.\).
Bảng biến thiên của hàm số y = g(x) trên khoảng (0;2).
.PNG)
Phương trình đã cho có nghiệm \(x \in \left( { - 1,1} \right)\) khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm \(t \in \left( {0,2} \right)\) ⇔ 0 < m2 < 36.
Mà m nguyên nên \(m \in \left\{ { \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5} \right\}\).
Vậy có 10 giá trị của tham số m thỏa mãn bài toán.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Khuyến
Câu hỏi liên quan
-
Xét các số thực a và b thỏa mãn \({2^a}{.4^b} = 8.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị (C). Tìm trên hai điểm M, N thuộc hai nhánh của đồ thị sao cho MN nhỏ nhất. Khi đó độ dài của MN bằng
-
Cho hình trụ có chiều cao là 3a. Trong đáy dưới ta vẽ tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn đáy; mặt (P) chứa AB và (P) song song trục của hình trụ, (P) cắt hình trụ theo thiết diện có diện tích là \(6{a^2}\sqrt 3 \). Thể tích của khối trụ đã cho bằng
-
Phương trình mặt phẳng (a) đi qua A(-1;2;3) và chứa trục Ox là:
-
Cho khối trụ có chiều cao h = 3 và bán kính đáy r = 4. Thể tích của khối trụ đã cho bằng
-
Cho tích phân \(I = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{{x\sqrt {3{{\ln }^2}x + 1} }}dx} \). Nếu đặt \(t = \sqrt {3{{\ln }^2}x + 1} \) thì khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
-
Số phức liên hợp \(\overline z \) của số phức: z = - 1 + 2i.
-
Cho hai số phức \({z_1} = 2 - i\) và \({z_2} = - 3 + i.\) Phần thực của số phức 3\({z_1}{z_2}\) bằng
-
Cho 2 số phức \({z_1} = 3 - 4i\,\,;\,\,{z_2} = 4 - i\). Số phức z = \(\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}\) bằng:
-
Thể tích của một khối cầu có bán kính R là
-
Hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 2a. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) là điểm I thuộc cạnh BC. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (A'BC).
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để hàm số \(y = {x^4} - 4{x^3} + \left( {m + 25} \right)x - 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
-
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), \(SA = \sqrt 2 a,\) đáy ABCD là hình vuông cạnh a (minh họa như hìnhbên). Góc giữa đường thằng SC và mặt phằng (ABCD) bằng
.png)
-
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn [0;3], f(0) = 2 và f(3)= 5 . Tính \({\rm{I = }}\int\limits_0^3 {{f'}(x)dx} \).
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} - 2}} > {2^{4 - 3x}}\) là
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số \(f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {2m - 3} \right)x - m + 2\) nghịch biến trên R?
-
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(\left( c \right):y = {x^4} - 5{x^2} + 4\) và trục hoành là
-
Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 7 quả cầu đỏ và 5 quả cầu xanh, hộp thứ hai chứa 6 quả cầu đỏ và 4 quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên từ một hộp một quả cầu. Xác suất để hai quả lấy ra cùng màu đỏ.
-
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên R có bảng biến thiên như hình sau:
.png)
Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x) = \frac{{x - 2}}{{x + 3}}\) trên đoạn [-1;2] bằng
