Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị (C). Tìm trên hai điểm M, N thuộc hai nhánh của đồ thị sao cho MN nhỏ nhất. Khi đó độ dài của MN bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 1 + \frac{2}{{x - 1}}\)
Gọi \(M\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(N\left( {{x_2};{y_2}} \right)\). Vì hai điểm M, N thuộc hai nhánh của đồ thị nên \({x_1} < 1 < {x_2}\)
Đặt \({x_1} = 1 - a,{x_2} = 1 + b\), điều kiện a > 0,b > 0
Khi đó ta có : \(M{N^2} = {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {\frac{2}{a} + \frac{2}{b}} \right)^2}\). Suy ra \(M{N^2} = {\left( {a + b} \right)^2}\left( {1 + \frac{4}{{{a^2}{b^2}}}} \right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có : \(M{N^2} \ge {\left( {2\sqrt {ab} } \right)^2}.\frac{4}{{ab}}\) suy ra \(M{N^2} \ge 16\). Vậy \(MN \ge 4\). Dấu bằng xảy ra \(\left\{ \begin{array}{l} a = b\\ 1 = \frac{4}{{{a^2}{b^2}}} \end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \sqrt 2 \)
Hay \(M\left( {1 - \sqrt 2 ;1 - \sqrt 2 } \right)\) và \(N\left( {1 + \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right)\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Khuyến
Câu hỏi liên quan
-
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(\left( C \right):y = {x^2} + 2x;\,\,\left( d \right):y = x + 2\) được tính bởi công thức nào dưới đây?
-
Cho hàm số \(y = 2\ln \left( {\ln x} \right) - \ln 2x.\) Giá trị \(y'\left( e \right)\) bằng
-
Cho hình trụ có chiều cao là 3a. Trong đáy dưới ta vẽ tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn đáy; mặt (P) chứa AB và (P) song song trục của hình trụ, (P) cắt hình trụ theo thiết diện có diện tích là \(6{a^2}\sqrt 3 \). Thể tích của khối trụ đã cho bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), \(SA = \sqrt 2 a,\) đáy ABCD là hình vuông cạnh a (minh họa như hìnhbên). Góc giữa đường thằng SC và mặt phằng (ABCD) bằng
.png)
-
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
-
Cho khối chóp có diện tich đáy B = 3 và thể tích V = 4. Chiều cao của khối chóp đã cho bằng
-
Tập xác định của hàm số y = \({\log _3}\left( {x - 1} \right)\) là
-
Thể tích của khối hình hộp chữ nhật có độ dài ba kích thước 2, 3, 4 bằng
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số \(f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {2m - 3} \right)x - m + 2\) nghịch biến trên R?
-
Gọi z0 là nghiệm có phần ảo dương của phương trình \({z^2} + 2z + 5 = 0.\) Điểm biểu diễn của số phức \({z_0} + 3i\) là
-
Số tiền 58 000 000 đ gửi tiết kiệm trong 8 tháng thì lãnh về được 61 329 000 đ. Lãi suất hàng tháng là:
-
Số phức liên hợp \(\overline z \) của số phức: z = - 1 + 2i.
-
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có \(AC = a;BC = 2a,\widehat {ACB} = 120^\circ \). Gọi M là trung điểm của BB'. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CC' bằng
-
Với a là số thực dương tùy ý, \({\log _3}\left( {{a^5}} \right)\) bằng
-
Tính tích phân: \(I = \int\limits_1^5 {\frac{{dx}}{{x\sqrt {3x + 1} }}} \) được kết quả \(I = a\ln 3 + b\ln 5\).
Giá trị biểu thức P = a + 2b bằng
-
Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào trong các phương án A, B, C, D?
.png)
-
Số tổ hợp chập 2 của 10 phần tử là
-
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \((\dfrac12)^x \ge 2\).
-
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ.
.png)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình \(f(x + 1) - \frac{{{m^2}}}{{{x^2} + 3x + 5}} = 0\) có nghiệm trên khoảng (-1;1)?
-
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - \pi ;2\pi } \right]\) của phương trình \(f\left( {\cos x} \right) = - 2\) là
