Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục và thoả mãn \(f\left( x \right)+2f\left( \frac{1}{x} \right)=3x\) với \(x\in \left[ \frac{1}{2};2 \right]\). Tính \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{x}\text{d}x}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(I=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{x}\text{d}x}\)
Với \(x\in \left[ \frac{1}{2};2 \right], f\left( x \right)+2f\left( \frac{1}{x} \right)=3x\Leftrightarrow \frac{f\left( x \right)}{x}+2\frac{f\left( \frac{1}{x} \right)}{x}=3\) .
\(\Rightarrow \int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{x}}\text{d}x+2\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( \frac{1}{x} \right)}{x}\text{d}x}=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{3}\text{d}x\,\,\,\,\,(1)\)
Đặt \(t=\frac{1}{x}\Rightarrow \text{d}t=-\frac{1}{{{x}^{2}}}\text{d}x\Rightarrow -\frac{1}{t}\text{d}t=\frac{1}{x}\text{d}x\).
\(2\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( \frac{1}{x} \right)}{x}\text{d}x}=2\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( t \right)}{t}}\text{d}t=2I\)
\(\left( 1 \right)\Rightarrow 3I=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{3}\text{d}x\Rightarrow I=\frac{3}{2}.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Khuyến lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
.png)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = - {1 \over x}\) Xét hai mệnh đề:
(I): \(y'' = f''\left( x \right) = {2 \over {{x^3}}}\)
(II): \(y''' = f'''\left( x \right) = - {6 \over {{x^4}}}\)
Mệnh đề nào đúng?
-
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), mặt phẳng \(\left( {MA'C'} \right)\) cắt hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) theo thiết diện là hình gì?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)}\text{d}x=9;\int\limits_{2}^{4}{f\left( x \right)}\text{d}x=4\). Tính \(I=\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)}\text{d}x\)?
-
Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc \({{v}_{1}}\left( t \right)=7t\left( \text{m/s} \right)\). Đi được \(5\left( \text{s} \right)\), người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc \(a=-70\left( \text{m/}{{\text{s}}^{\text{2}}} \right)\). Tính quãng đường \(S\left( \text{m} \right)\) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.
-
Tìm nghiệm của phương trình \({\log _{25}}(x + 1) = \frac{1}{2}\)
-
Nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {x - 4} \right) = 2\) là
-
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), SD = 2a. Gọi \(\alpha \) là góc giữa SC và mp (ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?
-
Cho hàm số bậc bốn \(y=f(x)\) có đồ thị như hình vẽ
.jpg.png)
Số nghiệm của phương trình \(f(x)=-1\) là:
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x-2y+z-5=0. Điểm nào dưới đây thuộc (P)?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {\sqrt x - {1 \over {\sqrt x }}} \right)^3}\) Hàm số có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) bằng:
-
Một hội nghị bàn tròn có các phái đoàn gồm 3 người Anh, 5 người Pháp, 7 người Mỹ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho các thành viên, sao cho những người có cùng quốc tịch thì ngồi gần nhau:
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=4-3i\) và \({{z}_{2}}=7+3i\). Tìm số phức \(z={{z}_{1}}-{{z}_{2}}\)
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với \({{u}_{9}}=5{{u}_{2}}\) và \({{u}_{13}}=2{{u}_{6}}+5.\) Khi đó số hạng đầu \({{u}_{1}}\) và công sai d bằng
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,\(BC=a\sqrt{3}\),AC=2a.Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA=a\sqrt{3}\). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng
-
Nếu \(\int\limits_1^3 {f(x)dx} = 8\) thì \(\int\limits_1^3 {\left[ {\frac{1}{2}f\left( x \right) + 1} \right]dx} \) bằng
-
Tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {1;3} \right)\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x + 3\) tại điểm thứ hai khác \(M\)là \(N\) Tọa độ điểm \(N\) là:
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 2\,;\,3\,;\,1 \right)\) và \(B\left( 5\,;\,2\,;\,-3 \right)\). Đường thẳng AB có phương trình tham số là:
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 1\) là
-
Tích phân \(\int\limits_0^3 {(2x + 1)dx} \) bằng
