Trong không gian Oxyz, cho các mặt phẳng \(\left( P \right):x-y+2z+1=0, \left( Q \right):2x+y+z-1=0\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính 2 và \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( Q \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r. Xác định r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu \(\left( S \right)\) thỏa mãn yêu cầu.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai* Gọi I là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\). Do \(I\in Ox\) nên ta có \(I\left( a;0;0 \right)\).
* Do \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính 2 nên ta có:
\(4={{R}^{2}}-{{\left[ d\left( I;\left( P \right) \right) \right]}^{2}}\Leftrightarrow 4={{R}^{2}}-\frac{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}{6}\Rightarrow {{R}^{2}}=4+\frac{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}{6}\text{ }\left( 1 \right)\)
* Do \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( Q \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r nên ta có:
\({{r}^{2}}={{R}^{2}}-{{\left[ d\left( I;\left( P \right) \right) \right]}^{2}}\Leftrightarrow {{r}^{2}}={{R}^{2}}-\frac{{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}}{6}\text{ }\left( 2 \right)\)
* Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có:
\({{r}^{2}}=4+\frac{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}{6}-\frac{{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}}{6}\Leftrightarrow -3{{a}^{2}}+6a+24-6{{r}^{2}}=0\Leftrightarrow -{{a}^{2}}+2a+8-2{{r}^{2}}=0\text{ }\left( 3 \right)\)
* Để có duy nhất một mặt cầu \(\left( S \right)\) thỏa mãn yêu cầu điều kiện là phương trình \(\left( 3 \right)\) có duy nhất một nghiệm a với r>0 nên điều kiện là:
\({\Delta }'=9-2{{r}^{2}}=0\Leftrightarrow r=\frac{3\sqrt{2}}{2}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Khuyến lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho số phức \(z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\) có phần thực khác 0. Biết số phức \(w=i{{z}^{2}}+2\overline{z}\) là số thuần ảo. Tập hợp các điểm biểu diễn của z là một đường thẳng đi qua điểm nào dưới đây?
-
Một hội nghị bàn tròn có các phái đoàn gồm 3 người Anh, 5 người Pháp, 7 người Mỹ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho các thành viên, sao cho những người có cùng quốc tịch thì ngồi gần nhau:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = - {1 \over x}\) Xét hai mệnh đề:
(I): \(y'' = f''\left( x \right) = {2 \over {{x^3}}}\)
(II): \(y''' = f'''\left( x \right) = - {6 \over {{x^4}}}\)
Mệnh đề nào đúng?
-
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), SD = 2a. Gọi \(\alpha \) là góc giữa SC và mp (ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=2-3i{{,}^{{}}}{{z}_{2}}=1+i.\) Tìm số phức \(z={{z}_{1}}+{{z}_{2}}\).
-
Tích phân \(\int\limits_0^3 {(2x + 1)dx} \) bằng
-
Trong một hộp bút gồm có 8 cây bút bi, 6 cây bút chì và 10 cây bút màu. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một cây bút từ hộp bút đó?
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=4-3i\) và \({{z}_{2}}=7+3i\). Tìm số phức \(z={{z}_{1}}-{{z}_{2}}\)
-
Nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {x - 4} \right) = 2\) là
-
Cho hàm số bậc bốn \(y=f(x)\) có đồ thị như hình vẽ
.jpg.png)
Số nghiệm của phương trình \(f(x)=-1\) là:
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(d\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Tìm nghiệm của phương trình \({\log _{25}}(x + 1) = \frac{1}{2}\)
-
Tính thể tích khối hộp chữ nhật có các kích thước b, 2b, 3b
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 1\) là
-
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({{4}^{\sin x}}+{{2}^{1+\sin x}}-m=0\) có nghiệm.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):2x+y-z-1=0 và (Q):x-2y-5=0. Khi đó giao tuyến của (P) và (Q) có một vectơ chỉ phương là
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với \({{u}_{9}}=5{{u}_{2}}\) và \({{u}_{13}}=2{{u}_{6}}+5.\) Khi đó số hạng đầu \({{u}_{1}}\) và công sai d bằng
-
Cho a, b là hai số dương bất kì. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm
-
Tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {1;3} \right)\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x + 3\) tại điểm thứ hai khác \(M\)là \(N\) Tọa độ điểm \(N\) là:
