Trong không gian Oxyz, cho các mặt phẳng \(\left( P \right):x-y+2z+1=0, \left( Q \right):2x+y+z-1=0\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính 2 và \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( Q \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r. Xác định r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu \(\left( S \right)\) thỏa mãn yêu cầu.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai* Gọi I là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\). Do \(I\in Ox\) nên ta có \(I\left( a;0;0 \right)\).
* Do \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính 2 nên ta có:
\(4={{R}^{2}}-{{\left[ d\left( I;\left( P \right) \right) \right]}^{2}}\Leftrightarrow 4={{R}^{2}}-\frac{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}{6}\Rightarrow {{R}^{2}}=4+\frac{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}{6}\text{ }\left( 1 \right)\)
* Do \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( Q \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r nên ta có:
\({{r}^{2}}={{R}^{2}}-{{\left[ d\left( I;\left( P \right) \right) \right]}^{2}}\Leftrightarrow {{r}^{2}}={{R}^{2}}-\frac{{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}}{6}\text{ }\left( 2 \right)\)
* Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có:
\({{r}^{2}}=4+\frac{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}{6}-\frac{{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}}{6}\Leftrightarrow -3{{a}^{2}}+6a+24-6{{r}^{2}}=0\Leftrightarrow -{{a}^{2}}+2a+8-2{{r}^{2}}=0\text{ }\left( 3 \right)\)
* Để có duy nhất một mặt cầu \(\left( S \right)\) thỏa mãn yêu cầu điều kiện là phương trình \(\left( 3 \right)\) có duy nhất một nghiệm a với r>0 nên điều kiện là:
\({\Delta }'=9-2{{r}^{2}}=0\Leftrightarrow r=\frac{3\sqrt{2}}{2}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Khuyến lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x-1)2+(y+1)2+z2 = 9. Bán kính của mặt cầu đã cho bằng
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục và có bảng biến thiên trên \(\mathbb{R}\) như hình vẽ bên dưới
.png)
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=f\left( \cos x \right)\)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {\sqrt x - {1 \over {\sqrt x }}} \right)^3}\) Hàm số có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) bằng:
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 2\,;\,3\,;\,1 \right)\) và \(B\left( 5\,;\,2\,;\,-3 \right)\). Đường thẳng AB có phương trình tham số là:
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=2-3i{{,}^{{}}}{{z}_{2}}=1+i.\) Tìm số phức \(z={{z}_{1}}+{{z}_{2}}\).
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 1\) là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục và thoả mãn \(f\left( x \right)+2f\left( \frac{1}{x} \right)=3x\) với \(x\in \left[ \frac{1}{2};2 \right]\). Tính \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{x}\text{d}x}\).
-
Tích phân \(\int\limits_0^3 {(2x + 1)dx} \) bằng
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với \({{u}_{9}}=5{{u}_{2}}\) và \({{u}_{13}}=2{{u}_{6}}+5.\) Khi đó số hạng đầu \({{u}_{1}}\) và công sai d bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)}\text{d}x=9;\int\limits_{2}^{4}{f\left( x \right)}\text{d}x=4\). Tính \(I=\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)}\text{d}x\)?
-
Tìm nghiệm của phương trình \({\log _{25}}(x + 1) = \frac{1}{2}\)
-
Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc \({{v}_{1}}\left( t \right)=7t\left( \text{m/s} \right)\). Đi được \(5\left( \text{s} \right)\), người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc \(a=-70\left( \text{m/}{{\text{s}}^{\text{2}}} \right)\). Tính quãng đường \(S\left( \text{m} \right)\) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.
-
Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A, \(\widehat{BAC}=120{}^\circ , AB=a\). Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SA=a. Thể tích khối chóp đã cho bằng
-
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn bất phương trình \({8^x}{.2^{1 - {x^2}}} > {\left( {\sqrt 2 } \right)^{2x}}\)
-
Cho \({{z}_{1}}=4-2i\). Hãy tìm phần ảo của số phức \({{z}_{2}}={{\left( 1-2i \right)}^{2}}+\overline{{{z}_{1}}}\).
-
Cho số phức \(z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\) có phần thực khác 0. Biết số phức \(w=i{{z}^{2}}+2\overline{z}\) là số thuần ảo. Tập hợp các điểm biểu diễn của z là một đường thẳng đi qua điểm nào dưới đây?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
.png)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện \(\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}\) và biểu thức \(M={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}\) đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z+i.
-
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên.
.jpg.png)
Giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn [-2;3] bằng:
-
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), mặt phẳng \(\left( {MA'C'} \right)\) cắt hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) theo thiết diện là hình gì?
