Cho hàm số \(f\left( x \right)\), biết \(f\left( 1 \right)=1,f'\left( x \right)=\frac{2x}{3x+1-\sqrt{3x+1}},\,x>0\). Khi đó \(\int\limits_{1}^{5}{f\left( x \right)\text{d}}x\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(f\left( x \right)=\int{\frac{2x}{3x+1-\sqrt{3x+1}}\text{d}x}\)
Đặt \(t=\sqrt{3x+1}\Rightarrow x=\frac{{{t}^{2}}-1}{3}\)\(\Rightarrow dx=\frac{2}{3}t.\text{d}t\).
\(f\left( x \right)=\frac{4}{9}\int{\frac{\left( {{t}^{2}}-1 \right)t}{{{t}^{2}}-t}}\text{d}t=\frac{4}{9}\int{\left( t+1 \right)\text{d}t}\)=\(\frac{2}{9}{{t}^{2}}+\frac{4}{9}t+C=\frac{2}{9}\left( 3x+1 \right)+\frac{4}{9}\sqrt{3x+1}+C\)
Có \(f\left( 1 \right)=1\Rightarrow C=-\frac{7}{9}\) \(\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{2x}{3}+\frac{4}{9}\sqrt{3x+1}-\frac{5}{9}\).
Khi đó
\(\int\limits_{1}^{5}{f\left( x \right)\text{d}}x=\int\limits_{1}^{5}{\left( \frac{2x}{3}+\frac{4}{9}\sqrt{3x+1}-\frac{5}{9} \right)}\text{d}x=\left. \left[ \frac{1}{3}{{x}^{2}}+\frac{8}{81}\left( 3x+1 \right)\sqrt{3x+1}-\frac{5}{9}x \right] \right|_{1}^{5}\)\(=\frac{916}{81}\).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Võ Thị Sáu
Câu hỏi liên quan
-
Môđun của số phức \(3i+1\) bằng
-
Biết rằng vi khuẩn E. coli là vi khuẩn gây tiêu chảy đường ruột, gây đau bụng dữ dội, ngoài ra cứ sau 20 phút thì số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi, nghĩa là số lượng tính theo công thức \(S={{S}_{0}}{{.2}^{n}}\), \({{S}_{0}}\)là số lượng ban đầu, \(n\) là số lần nhân đôi. Ban đầu chỉ có 40 con vi khuẩn nói trên trong đường ruột, hỏi sau bao lâu số lượng vi khuẩn là \(671088640\)con?
-
Diện tích phần sạch sọc trong hinh vẽ bằng
.PNG)
-
Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng \(d:\left\{ \begin{matrix} x=2+t\,\,\,\,\,\,\, \\ y=4-2t\,\,\,\, \\ z=-3+3t\,\, \\ \end{matrix} \right.\) đi qua điểm nào dưới đây?
-
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=-\sin x+4x\) là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\). Đồ thị \(y={f}'\left( x \right)\) cho như hình bên dưới. Hàm số \(g\left( x \right)=f\left( 2-x \right)-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+x\) nghịch biến trong khoảng nào dưới đây.
-
Trong không gian \(Oxyz,\)mặt phẳng \(\left( P \right):x+2y-5z-1=0\) đi qua điểm nào dưới đây?
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, \(SA=BD=\sqrt{3}a\). Góc giữa đường thẳng \(SC\)và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
.PNG)
Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ -\pi ;2\pi \right]\) của phương trình \(4f\left( \cos 2x \right)+5=0\) là
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang cạnh \(AB=2a,AD=DC=CB=a,SA=3a\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(SB\) bằng
.PNG)
-
Trong các dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) sau đây, dãy số nào là cấp số nhân?
-
Nếu chọn ra \(1\) nam và \(1\) nữ làm trực nhật từ một tổ gồm 4 nam và 6 nữ thì có bao nhiêu cách?
-
Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là hình chữ nhật cạnh \(BC=a,\,BD\,=2BC\) và \(AA'=2\sqrt{3}a\). Diện tích toàn phần của lăng trụ đã cho bằng
-
Cho hàm số \(f(x)\)liên tục \((0;\,+\infty )\). Biết \(\ln (2x)\)là một nguyên hàm của hàm số \(f(x){{e}^{x}}\). Họ tất cả nguyên hàm của hàm số \(f'(x){{e}^{x}}\) là
-
Cho khối hộp chữ nhật có chiều dài bằng \(4\), chiều rộng bằng \(3\), chiều cao bằng \(2\). Thể tích khối hộp đã cho bằng
-
Gọi \(y={{y}_{0}}\) và \(x={{x}_{0}}\) là các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{2{{x}^{2}}+5x+2}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\), khi đó tổng \({{x}_{0}}+{{y}_{0}}\) bằng
-
Trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), điểm biểu diễn số phức \(z={{(2-i)}^{2}}\) có toạ độ là
-
Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn \({{\log }_{2}}\left( 2x-2002 \right)+x=y+1002+{{2}^{y}}\) và \(1002\le x\le 2022\)?
-
Cho hình trụ có chiều cao bằng \(2\sqrt{5}\). Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục, cách trục một khoảng \(\sqrt{5}\), thiết diện thu được là hình vuông. Diện tích xung quanh hình trụ đã cho bằng
-
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực dương thỏa mãn \(3{{\log }_{2}}a={{\log }_{4}}\left( {{a}^{2}}b \right)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
