Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong \(\left( C \right)\) trong hình bên. Hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại hai điểm \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) thỏa \(f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)=0\). Gọi \(A,\,\,B\) là hai điểm cực trị của đồ thị \(\left( C \right);M,\,\,N,\,\,K\) là giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục hoành; S là diện tích của hình phẳng được gạch trong hình, \({{S}_{2}}\) là diện tích tam giác NBK. Biết tứ giác MAKB nội tiếp đường tròn, khi đó tỉ số \(\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}\) bằng
.jpg.png)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiKết quả bài toán không thay đổi khi ta tịnh tiến đồ thị đồ thị \(\left( C \right)\) sang trái sao cho điểm uốn trùng với gốc tọa độ O. (như hình dưới)
.jpg.png)
Do \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc ba, nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng \(\left( O\equiv N \right)\).
Đặt \({{x}_{1}}=-a,\,\,{{x}_{2}}=a\), với a>0 \(\Rightarrow f'\left( x \right)=k\left( {{x}^{2}}-{{a}^{2}} \right)\) với k>0
\(\Rightarrow f\left( x \right)=k\left( \frac{1}{3}{{x}^{3}}-{{a}^{2}}x \right)\) \(\Rightarrow {{x}_{M}}=-a\sqrt{3},\,\,{{x}_{K}}=a\sqrt{3}\)
Có MAKB nội tiếp đường tròn tâm O \(\Rightarrow OA=OM=a\sqrt{3}\)
Có \(f\left( {{x}_{1}} \right)=\sqrt{O{{A}^{2}}-{{x}_{1}}^{2}}\Leftrightarrow f\left( -a \right)=a\sqrt{2}\Leftrightarrow k\left( -\frac{1}{3}{{a}^{3}}+{{a}^{3}} \right)=a\sqrt{2}\Leftrightarrow k=\frac{3\sqrt{2}}{2{{a}^{2}}}\)
\(\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{3\sqrt{2}}{2{{a}^{2}}}\left( \frac{1}{3}{{x}^{3}}-{{a}^{2}}x \right)\)
\({{S}_{1}}=\int\limits_{-a\sqrt{3}}^{0}{f\left( x \right)dx}=\frac{3\sqrt{2}}{2{{a}^{2}}}\left. \left( \frac{1}{12}{{x}^{4}}-\frac{{{a}^{2}}}{2}{{x}^{2}} \right) \right|_{-a\sqrt{3}}^{0}=\frac{9\sqrt{2}}{8}{{a}^{2}}\)
\({{S}_{2}}={{S}_{\Delta AMO}}=\frac{1}{2}f\left( -a \right).MO=\frac{1}{2}a\sqrt{2}.a\sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}}{2}{{a}^{2}}\)
Vậy \(\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Du lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng nào dưới đây đi qua điểm \(I\left( 2;1;1 \right)\)?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) và có \(y={f}'\left( x \right)\) là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số điểm cực đại của hàm số \(g\left( x \right)=f\left( {{\left| x \right|}^{3}} \right)-\left| x \right|\) là
.jpg.png)
-
Cho số phức z=2-3i. Gọi a,b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức \(\text{w}=\left( 1-2i \right)\overline{z}\). Khi đó giá trị của biểu thức P=a+b+2021 bằng
-
Đạo hàm của hàm số \(y={{2021}^{x}}\) là:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left[ -2\,;2 \right]\) và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.
.jpg.png)
Hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại điểm
-
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm đối xứng với điểm biểu diễn số phức z=-2i+4 qua trục Oy có tọa độ là
-
Cho hai số phức z và \(\text{w}\) thỏa mãn z=-i+2 và \(\overline{\text{w}}=-3-2i\). Số phức \(\overline{z}.\text{w}\) bằng:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu đạo hàm dưới đây
.png)
Số điểm cực trị của hàm số là
-
Với \(a\) là số thực dương tùy ý, \(a.\sqrt[3]{{{a}^{2}}}\) bằng
-
Nghiệm của phương trình \({{\left( \frac{1}{4} \right)}^{3x-4}}=\frac{1}{16}\) là:
-
Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, biết diện tích hình bình hành ABCD bằng 8 và chiều cao khối chóp bằng 3. Tính thể tích khối chóp S.ABC
-
Có bao nhiêu s1ố phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right|=\sqrt{5}\) và \(\left( z-3i \right)\left( \bar{z}+2 \right)\) là số thực?
-
Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của của hàm số \(f\left( x \right)=\cos 2x\) thỏa mãn \(F\left( \frac{\pi }{2} \right)=1\). Tính \(F\left( \frac{\pi }{4} \right)\).
-
Trong không gian \(Oxyz\), vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng vuông góc với trục \(Oy\)?
-
Cho \(\int\limits_{2}^{3}{f(x)\text{d}x}=-2\) . Tính \(I=\int\limits_{-\frac{3}{2}}^{-1}{f(-2x)\text{d}x}\) ?
-
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}.\) Bảng biến thiên của hàm số \(y=f'(x)\) được cho như hình vẽ. Trên \(\left[ -4;2 \right]\) hàm số \(y=f\left( 1-\frac{x}{2} \right)+x\) đạt giá trị lớn nhất bằng?
.png)
-
Hàm số \(F\left( x \right)={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3\) là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?
-
Tích các nghiệm của phương trình \({{2}^{{{x}^{2}}-2x}}=8\) là
-
Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm \(I\left( 3;-1;2 \right)\) và tiếp xúc với trục \(Ox\) có phương trình là:
-
Có bao nhiêu \(m\) nguyên \(m\in \left[ -2021;2021 \right]\) để phương trình \({{6}^{x}}-2m={{\log }_{\sqrt[3]{6}}}\left( 18\left( x+1 \right)+12m \right)\) có nghiệm?
