Cho $a > 0,b > 0$ thỏa mãn ${\log _{3a + 2b + 1}}\left( {9{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{6ab + 1}}\left( {3a + 2b + 1} \right) = 2$. Giá trị của $a + 2b$ bằng: 

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $SB = 2a$. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng 

Xét các số phức z thỏa mãn $\left( {\overline z  + i} \right)\left( {z + 2} \right)$ là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng 

Cho hai hàm số $f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx - \frac{1}{2}$ và $g\left( x \right) = d{x^2} + ex + 1\,\,\,(a,b,c,d,e \in \mathbb{R})$. Biết rằng đồ thì của hàm só $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $- 3; - 1;1$ (tham khảo hình vẽ).

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y + 3z - 5 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm $I\left( { - 2;1;2} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1; - 2; - 1} \right)$. Xét các điểm B, C, D thuộc (S) sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng:

Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $f\left( 2 \right) =  - \dfrac{2}{9}$ và $f'\left( x \right) = 2x{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Giá trị của $f\left( 1 \right)$ bằng:  

Cho hàm số $f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d(a,b,c,d \in \mathbb{R})$ . Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ như hình vẽ bên.Số nghiệm thực của phương trình $3f\left( x \right) + 4 = 0$ là: 

.

Cho $\int\limits_{16}^{55} {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x + 9} }} = a\ln 2 + b\ln 5 + c\ln 11}$ với a,b,c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

Trong không gian Oxyz, đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 1 + 2t\\z = 3 + t\end{array} \right.$ có một vectơ chỉ phương là: 

Một chất điểm $A$ xuất phát từ $O$ , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $v\left( t \right) = \frac{1}{{180}}{t^2} + \frac{{11}}{{18}}t\,\left( {m/s} \right)$, trong đó $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc $A$ bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm $B$ cũng xuất phát từ $O$, chuyển động thẳng cùng hướng với  $A$, nhưng chậm hơn  $5$  giây so với  $A$  và có gia tốc bằng $a\left( {m/{s^2}} \right)$ ($a$ là hằng số). Sau khi  $B$   xuất phát được $10$ giây thì đuổi kịp  $A$. Vận tốc của  B  tại thời điểm đuổi kịp $A$ bằng: 

Diện tích của mặt cầu bán kính R bằng 

Ông $A$ dự định sử dụng hết $6,5{m^3}$ kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)? 

$\int\limits_1^2 {{e^{3x - 1}}dx}$ bằng 

Cho hàm số $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d(a,b,c,d \in \mathbb{R})$ có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là: 

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B, AB=a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng:  

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{{x + 2}}{{x + 5m}}$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 10} \right)$? 

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 1 + 4t\\z = 1\end{array} \right.$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua điểm $A\left( {1;1;1} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {1; - 2;2} \right)$. Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và $\Delta$ có phương trình là:  

Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’, khoảng cách từ C đến đường thẳng BB’ bằng 2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB’ và CC’ lần lượt bằng $1$ và $\sqrt 3$, hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (A’B’C’) là trung điểm M của B’C’ và $A'M = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng:

Tìm số các chỉnh hợp chập $k$ của một tập hợp gồm $n$ phần tử $(1 \le k \le n).$ 

Tính: $\lim \frac{1}{{5n + 3}}$