Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có tâm \(O\). Gọi \(I\) là tâm của hình vuông \(A'B'C'D'\) và \(M\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(OI\) sao cho \(MO = 2MI\) (tham khảo hình vẽ). Khi đó côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {MC'D'} \right)\) và \(\left( {MAB} \right)\) bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiNhận thấy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MAB} \right),\left( {MC'D'} \right)\) là đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(AB,C'D'\)
Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(C'D',AB\)
Khi đó \(\left( {\left( {MC'D'} \right),\left( {MAB} \right)} \right) = \left( {MH,MK} \right) = \varphi \Rightarrow \cos \varphi = \left| {\cos \widehat {HMK}} \right|\)
Giả sử hình lập phương có cạnh bằng \(6\)
Ta có: \(IM = 1,IH = 3 \Rightarrow MH = \sqrt {10} \)
Gọi \(E\) là tâm hình vuông \(ABCD \Rightarrow EM = 5;EK = 3 \Rightarrow MK = \sqrt {34} \)
Mà \(HK = AD' = 6\sqrt 2 \)
Suy ra \(\cos \widehat {HMK} = \frac{{M{K^2} + M{H^2} - H{K^2}}}{{2MH.MK}} = - \frac{{7\sqrt {85} }}{{85}}\)
Vậy \(\cos \varphi = \frac{{7\sqrt {85} }}{{85}}\)
Chọn B.
Đề thi thử THPT QG năm 2023 môn Toán
Trường THPT Chu Văn An