Biết \(\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} = a + b\sqrt 3 \), với a, b là các số hữu tỉ. Tính T = 2a + 6b.

Tích hai nghiệm của phương trình \(\log _3^2x - 6{\log _3}x + 8 = 0\) bằng

Cho bất phương trình \({\log _7}\left( {{x^2} + 2x + 2} \right) + 1 > {\log _7}\left( {{x^2} + 6x + 5 + m} \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình trên có tập ngiệm chứa khoảng (1;3)?

Bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3x - 2} \right) > \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{2}}}{\left( {22 - 5x} \right)^2}\) có bao nhiêu nghiệm nguyên?

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị y = f'(x) cắt trục Ox tại ba điểm lần lượt có hoành độ a, b, c như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2x + 1\)

Cho hai số phức \({z_1} = 9i\) và \({z_2} = 3 - i\). Số phức \(w = {\bar z_1} - 2{z_2}\) là

Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của chúng.

Gọi z₀ là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình \({z^2} + 2z + 5 = 0\). Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức \(w = {i^{2019}}{z_0}\)?

Tập hợp tâm các mặt cầu luôn đi qua hai điểm cố định A và B cho trước là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB = 2a, AD = DC = CB = a, SA vuông góc với đáy và \(SA = \sqrt 3 a\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD bằng

Thể tích khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là

Một hộp sữa hình trụ có thể tích V (không đổi) được làm từ một tấm tôn có diện tích đủ lớn. Nếu hộp sữa chỉ kín một đáy thì để tốn ít vật liệu nhất, hệ thức giữa bán kính đáy R và đường cao h bằng:

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và \(AC = a\sqrt 2 \), AC' tạo với đáy một góc 30^o. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

Cho hàm số \(y = \left( {m + 2} \right)\frac{{{x^3}}}{3} - \left( {m + 2} \right){x^2} + \left( {m - 8} \right)x + {m^2} - 1\). Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số nghịch biến trên R.

Cho hai số phức \({z_1} = 1 + 2i\), \({z_2} = 3 - i\). Tìm số phức \(z = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}\).

Số phức liên hợp của số phức \(z = \left( {3 + i} \right)\left( {2 - 3i} \right)\) là

Cạnh bên của một hình nón bằng 2a. Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 120^o. Diện tích toàn phần của hình nón là:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = {x^2} - x\) và y = x bằng

Gọi A, B là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 5 = 0\). Tính độ dài đoạn thẳng AB:

Xét các số thực a, b, x, y thoả mãn a > 1, b > 1 và \({a^{x - y}} = {b^{x + y}} = \sqrt[3]{{ab}}\). Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3x + 2y - 1 bằng \(\frac{{\sqrt m }}{n}\) với \(m,\,n \in Z_ + ^*\). Giá trị của S = m - n bằng