Bạn Bình muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(60\left( cm \right)\text{.}\) Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật \(MNPQ\) từ mảnh tôn nguyên liệu (với \(M,N\) thuộc cạnh BC; P, Q tương ứng thuộc cạnh \(AC\) và \(AB\)) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng \(MQ.\)
.PNG)
Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn Bình có thể làm được là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(QP=x\,\,\left( 0<x<60 \right)\).
Ta có \(BM=\frac{60-x}{2}\Rightarrow MQ=BM.\tan 60{}^\circ =\frac{\left( 60-x \right)\sqrt{3}}{2}\).
Gọi \(r\)là bán kính đáy thùng hình trụ, \(h\)chiều cao thùng hình trụ.
Hình trụ có chu vi đáy bằng \(x=2\pi r\Rightarrow r=\frac{x}{2\pi }\).
Chiều cao \(h=MQ=\frac{\left( 60-x \right)\sqrt{3}}{2}\).
Thể tích của thùng \(V=\pi {{r}^{2}}h=\pi .{{\left( \frac{x}{2\pi } \right)}^{2}}.\frac{\left( 60-x \right)\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8\pi }.\left( 60-x \right){{x}^{2}}\).
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có \(\left( 60-x \right)\frac{{{x}^{2}}}{4}=\left( 60-x \right).\frac{x}{2}.\frac{x}{2}\le {{\left( \frac{60-x+\frac{x}{2}+\frac{x}{2}}{3} \right)}^{3}}={{20}^{3}}=8000\).
Dấu bằng xãy ra khi \(\frac{x}{2}=60-x\Leftrightarrow x=40\).
Vậy thể tích lớn nhất của chiếc thùng \(\frac{\sqrt{3}}{2\pi }.8000=\frac{4000\sqrt{3}}{\pi }\,\left( c{{m}^{3}} \right)\).
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2020
Trường THPT Lý Thái Tổ-Bắc Ninh lần 1
Câu hỏi liên quan
-
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng \(y=x+m-1\) cắt đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}+\left( m-3 \right){{x}^{2}}+x+1\) tại ba điểm phân biệt \(A\left( 1;{{y}_{A}} \right),\,\,B,\,\,C\) sao cho \(BC=2\sqrt{3}.\) Tổng bình phương tất cả các phần tử của tập hợp S là:
-
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc khoảng \(\left( -20;20 \right)\) để với mọi cặp hai số \(\left( x;y \right)\)có tổng lớn hơn 1 đều đồng thời thỏa mãn \({{e}^{3x+y}}-{{e}^{2x-2y+1}}=1-x-3y\) và \(\log _{3}^{2}\left( 2x+4y-1 \right)+2\left( m-1 \right){{\log }_{3}}\left( 1-2y \right)+{{m}^{2}}-9>0\)?
-
Cho hàm số \(y=\sqrt{\left( 2m-1 \right)\sin x-\left( m+2 \right)\cos x+4m-3}\,\)(1). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương nhỏ hơn \(2019\) của tham số m để hàm số (1) xác định với mọi \(x\in \mathbb{R}\)?
-
Số các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-5}{{{x}^{2}}+2x-15}\) là
-
Cho mặt cầu (S) có bán kính \(R=a\) không đổi. Hình nón (N) thay đổi có đường cao lớn hơn R, có đỉnh và đường tròn đáy thuộc mặt cầu (S). Thể tích khối nón (N) là \({{V}_{1}}\) và thể tích phần còn lại của khối cầu là \({{V}_{2}}.\) Khi \(\frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}=\frac{19}{8}\) thì bán kính của hình nón (N) bằng:
-
Phương trình \(\text{co}{{\text{s}}^{2}}x-3\cos x+2=0\) có họ nghiệm là
-
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) các đường chéo của các hình chữ nhật \(ABCD\,\,;\,AB{B}'{A}'\,;\,AD{D}'{A}'\) lần lượt là \(\sqrt{5}\,;\,\sqrt{10\,}\,;\sqrt{13}\). Thể tích khối hộp chữ nhật đã cho là
-
Hàm số nào dưới đây có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định?
-
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có cạnh \(A{A}'=a\), đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC=2a\), \(AB=a\sqrt{3}\). Tính khoảng cách từ đường thẳng \(A{A}'\) đến mặt phẳng \(\left( BC{C}'{B}' \right)\).
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như sau
.PNG)
Hàm số \(y=f\left( 3-2x \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho phương trình \(\left( mx-36 \right)\sqrt{2-{{\log }_{3}}x}=0\,\,\,\left( 1 \right).\) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ -100;100 \right]\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{x - 1}}{\rm{khi}}x \ne 1}\\
{{\rm{2}}a + {\rm{1 khi }}x = 1}
\end{array}} \right.\) Tìm giá trị của tham số a để hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x=1\). -
Cho hình bát diện đều \(ABCDEF\) như hình vẽ. Tổng số cạnh và mặt của hình bát diện bằng bao nhiêu?
.PNG)
-
Trong không gian cho tam giác \(ABC\) đều cạnh bằng 8, M là một điểm tùy ý thỏa mãn \(M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=100\). Khi đó, quỹ tích điểm \(M\) là một mặt cầu có bán kính bằng bao nhiêu?
-
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R và có đồ thị hàm số f’(x) như hình vẽ bên.
.PNG)
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(g\left( x \right)=f\left( x \right)-mx\) có đúng hai điểm cực tiểu?
-
Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng 5 và bán kính đường tròn đáy bằng 4. Tính thể tích khối nón tạo bởi hình nón trên.
-
Cho \(f\left( x \right)\) là đa thức thỏa mãn \(\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-8}{x-3}=6\). Tính \(L=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{f\left( x \right)-7}-1}{{{x}^{2}}-2x-3}\)
-
Đường thẳng \(y=4x+1\) cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{x-2}{x+2}\) tại bao nhiêu điểm?
-
Cho hình chóp \(D.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\),\(DA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết \(AB=3a,BC=4a,AD=5a\). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(D.ABC\) bằng
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
.PNG)
