Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A′B′C′D′. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng ABAB và B′CB′C bằng 2a√552a√55, khoảng cách giữa 2 đường thẳng BC và AB′AB′ bằng 2a√552a√55. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và BD′BD′ bằng a√33a√33. Tính thể tích khối hộp chữ nhật đã cho.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiKẻBH⊥B′C={H};BK⊥AB′={K}BH⊥B′C={H};BK⊥AB′={K}
Do DBDB là hình chiếu vuông góc của BD' trên mặt phẳng (ABCD). Gọi I=DB∩ACI=DB∩AC, kẻ IN⊥BD′={N}IN⊥BD′={N}
Ta có AC⊥(BDD′B′)⇒AC⊥INAC⊥(BDD′B′)⇒AC⊥IN
Khi đó BH,BK,INBH,BK,IN lần lượt là đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng: ABAB và B′CB′C, BCBC và AB′AB′, ACAC và BD′BD′
Suy ra BH=BK=2a√55,IN=a√33BH=BK=2a√55,IN=a√33
Đặt AB=x,AD=y,AA′=z(x,y,z>0)AB=x,AD=y,AA′=z(x,y,z>0)
BD′2=x2+y2+z2;SΔID′B=SΔBDD′−SΔDID′=SDD′I=12z.√x2+y22=z.√x2+y24BD′2=x2+y2+z2;SΔID′B=SΔBDD′−SΔDID′=SDD′I=12z.√x2+y22=z.√x2+y24
IN=2SID′BBD′=z√x2+y22√x2+y2+z2IN=2SID′BBD′=z√x2+y22√x2+y2+z2
{1y2+1z2=54a21x2+1z2=54a2z√x2+y22√x2+y2+z2=a√33⇔{x=y>0x2=4a2z25z2−4a2z2−4a2=0⇔{x=y>0x2=4a2z25z2−4a2z=2a>0⇔{x=ay=az=2a
⇒V=xyz=2a3.
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2020
Trường THPT Lý Thái Tổ-Bắc Ninh lần 1