Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng $AB$ và ${B}'C$ bằng $\frac{2a\sqrt{5}}{5}$, khoảng cách giữa 2 đường thẳng BC và $A{B}'$ bằng $\frac{2a\sqrt{5}}{5}$. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và $B{D}'$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Tính thể tích khối hộp chữ nhật đã cho.

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{3}}+2x \right)+m$. Giá trị của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $g\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ bằng 9 là

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=2a,\,\,AD=a$. Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy là trung điểm H của cạnh AB; góc tạo bởi cạnh SC và mặt phẳng đáy là ${{45}^{o}}.$ Thể tíchkhối chóp S.ABCD là

Cho tập $A=\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}$. Trong các số tự nhiên gồm 6 chữ số được lập từ các chữ số thuộc tập , chọn ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để trong số đó luôn xuất hiện  chữ số , các chữ số còn lại đôi một khác nhau.

Đường thẳng $y=4x+1$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{x-2}{x+2}$ tại bao nhiêu điểm?

Số các nghiệm nguyên nhỏ hơn 2019 của bất phương trình ${{\log }_{2}}\left( 16x \right)+5{{\log }_{\frac{x}{4}}}2\ge 0$ là:

Tìm hệ số của ${{x}^{4}}$ trong khai triển của biểu thức $P\left( x \right)={{\left( x-\frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{10}}$

Cắt một khối trụ cho trước bởi một mặt phẳng vuông góc với trục thì được hai khối trụ mới có tổng diện tích toàn phần nhiều hơn diện tích toàn phần của khối trụ ban đầu $18\pi \,\left( d{{m}^{2}} \right)$. Biết chiều cao của khối trụ ban đầu là $5\,\left( dm \right)$, tính tổng diện tích toàn phần S của hai khối trụ mới.

Cho hàm số $y=\sqrt{\left( 2m-1 \right)\sin x-\left( m+2 \right)\cos x+4m-3}\,$(1). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương nhỏ hơn $2019$ của tham số m để hàm số (1) xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$?

Cho hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Cho hai hàm số $y=f\left( x \right)$, $y=f\left( f\left( x \right) \right)$ có đồ thị lần lượt là $\left( C \right)$ và $\left( {{C}'} \right)$. Đường thẳng x=2 cắt $\left( C \right)$, $\left( {{C}'} \right)$ lần lượt tại M và N. Biết phương trình tiếp tuyến với $\left( C \right)$ tại điểm M là $y=2x-2$. Khi đó phương trình tiếp tuyến của $\left( {{C}'} \right)$ tại điểm N là

Tập tất cả các giá trị của tham số a để hàm số $y={{\left( a-2 \right)}^{x}}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ là:

Cho hình bát diện đều $ABCDEF$ như hình vẽ. Tổng số cạnh và mặt của hình bát diện bằng bao nhiêu?

Cho $f\left( x \right)$ là đa thức thỏa mãn $\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-8}{x-3}=6$. Tính $L=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{f\left( x \right)-7}-1}{{{x}^{2}}-2x-3}$

Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng 5 và bán kính đường tròn đáy bằng 4. Tính thể tích khối nón tạo bởi hình nón trên.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông. Mặt bên $\left( SAB \right)$ là tam giác đều cạnh $a$và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là

Cho $a,\,\,b$ là hai số dương với $a\ne 1$ thỏa mãn ${{\log }_{a}}b=3.$ Khi đó, giá trị ${{\log }_{b}}\left( \frac{{{a}^{2}}}{b} \right)$ bằng:

Cho hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông, diện tích mỗi mặt đáy bằng $9\pi \left( c{{m}^{\text{2}}} \right).$

Tính diện tích xung quanh hình trụ đó.

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}-3x}{x+1}$ trên đoạn $\left[ -4;-2 \right]$ bằng

Cho hình chóp$S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình hình bình hành và thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng 18. Biết điểm M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Thể tích khối đa diện $ABCDMN$ bằng

Cho hình chóp $D.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$,$DA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết $AB=3a,BC=4a,AD=5a$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $D.ABC$ bằng