Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $S\left( 0;0;1 \right)$. Hai điểm $M\left( m;0;0 \right);N\left( 0;n;0 \right)$ thay đổi sao cho m + n = 1 và m > 0; n > 0. Biết rằng mặt phẳng (SMN) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Bán kính mặt cầu đó bằng: $R=\sqrt{2}$.

Tính $\int \tan x d x$

Trong không gian Oxyz cho hai điểm C(0;0;3) và M (-1;3;2) . Mặt phẳng (P) qua C, M đồng thời chắn trên các nửa trục dương Ox, Oy các đoạn thẳng bằng nhau. (P) có phương trình là :

Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua I (-1;5;2) và song song với trục Ox.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(2;-1;3) và mặt phẳng $(P): 2 x-3 y+z-1=0$ . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-6z-2=0$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa trục Oy và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là một đường tròn có chu vi bằng $8\pi$.

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sqrt{\ln ^{2} x+1} \cdot \frac{\ln x}{x}$ thoả mãn $F(1)=\frac{1}{3}$ . Giá trị của $F^{2}(e)$ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm $A(0 ; 0 ;-6), B(0 ; 1 ;-8), C(1 ; 2 ;-5)$ và D(4;3;8) . Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó?

Hoành độ điểm M  thỏa mãn $\overrightarrow {OM} = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j + \overrightarrow k$

Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz), cho vecto $\overrightarrow {AO} = 3\left( {\vec i + 4\vec j} \right) - 2\overrightarrow k + 5\overrightarrow j$ Tọa độ điểm A là:

Cho tứ diện ABCD biết $A(2;3;1);B(4;1;-2);C(6;3;7);D(1;-2;2)$. Thể tích tứ diện ABCD là

Xét tích phân $I=\int_{0}^{\pi / 3} \frac{\sin 2 x}{1+\cos x} d x$ . Thực hiện phép đổi biến $t=\cos x$, ta có thể đưa I về dạng nào sau đây?

Trong hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD.MNPQ  tâm I , biết A(0;1;2) , B(1;0;1), C(2;0;1) , và Q( -1;0;1). Đường thẳng d qua I , song song với AC có phương trình là

Cho $\vec a=(1;0;-3), \vec b=(2;1;2)$. Khi đó $|[\vec a, \vec b]|$ có giá trị  là:

Kết quả $\int e^{\sin x} \cos x d x$ bằng

Trong không gian cho mặt cầu có phương trình $\left( S \right):{{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{\left( z-7 \right)}^{2}}=4$ và mặt phẳng $\left( P \right):x-y+z+4=0$. Biết mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) theo một đường tròn (C). Tính chu vi đường tròn (C).

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^3 - 4x$, trục hoành, đường thẳng x =  - 2 và đường thẳng x = 1. Diện tích của hình phẳng ( H) bằng

Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai? 

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2+ 1 , y = 0, x = - 1, x = 2$ bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }:\frac{x}{1}=\frac{y+3}{1}=\frac{z}{2}$. Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng $2\sqrt{2}$ và cắt mặt phẳng (Oxz) theo một đường tròn có bán kính bằng 2. Tìm tọa độ tâm I.

Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số $y=x^{3} \sin ^{5} x$ trên khoảng $(0 ;+\infty)$ . Khi đó tích phân $\int_{1}^{2} 81 x^{3} \sin ^{5} 3 x d x$ có giá trị bằng