Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-6z-2=0$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa trục Oy và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là một đường tròn có chu vi bằng $8\pi$.

Hoành độ điểm M  thỏa mãn $\overrightarrow {OM} = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j + \overrightarrow k$

Cho tứ diện ABCD biết $A(2;3;1);B(4;1;-2);C(6;3;7);D(1;-2;2)$. Thể tích tứ diện ABCD là

Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai? 

Xét tích phân $I=\int_{0}^{\pi / 3} \frac{\sin 2 x}{1+\cos x} d x$ . Thực hiện phép đổi biến $t=\cos x$, ta có thể đưa I về dạng nào sau đây?

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sqrt{\ln ^{2} x+1} \cdot \frac{\ln x}{x}$ thoả mãn $F(1)=\frac{1}{3}$ . Giá trị của $F^{2}(e)$ là

Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1;2;-1) và mặt phẳng $(P): x-y+2 z-3=0$ . Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $S\left( 0;0;1 \right)$. Hai điểm $M\left( m;0;0 \right);N\left( 0;n;0 \right)$ thay đổi sao cho m + n = 1 và m > 0; n > 0. Biết rằng mặt phẳng (SMN) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Bán kính mặt cầu đó bằng: $R=\sqrt{2}$.

Trong không gian tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt cầu tâm $I\left( 2;3;-1 \right)$ cắt đường thẳng $d:\left\{ \begin{array} {} x=1+2t \\ {} y=-5+t \\ {} z=-15-2t \\ \end{array} \right.$ tại A, B với AB = 16.

Tính $\int \tan x d x$

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0;2] thỏa mãn $\int_{0}^{2} f(x) d x=6$ . Giá trị của tích phân $\int_{0}^{\pi / 2} f(2 \sin x) \cos x d x$  là

Tung độ của điểm M thỏa mãn $\overrightarrow {OM} = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j + \overrightarrow k$ là:

Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua I (-1;5;2) và song song với trục Ox.

Điểm N  là hình chiếu của M(x;y;z) trên trục tọa độ Oz thì:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }:\frac{x}{1}=\frac{y+3}{1}=\frac{z}{2}$. Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng $2\sqrt{2}$ và cắt mặt phẳng (Oxz) theo một đường tròn có bán kính bằng 2. Tìm tọa độ tâm I.

Kết quả $\int e^{\sin x} \cos x d x$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm $A(-1 ;-2 ; 0), B(0 ;-4 ; 0), C(0 ; 0 ;-3)$. Phương trình mặt phẳng (P) nào dưới đây đi qua A , gốc tọa độ O và cách đều hai điểm B và C?

Trong không gian (Oxyz ), cho điểm M thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i + \overrightarrow j$. Tọa độ của điểm M là

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^3 - 4x$, trục hoành, đường thẳng x =  - 2 và đường thẳng x = 1. Diện tích của hình phẳng ( H) bằng

Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số $y=x^{3} \sin ^{5} x$ trên khoảng $(0 ;+\infty)$ . Khi đó tích phân $\int_{1}^{2} 81 x^{3} \sin ^{5} 3 x d x$ có giá trị bằng

Cho tứ diện ABCD biết $A(0;-1;3);B(2;1;0),C(-1;3;3);D(1;-1;-1)$. Tính chiều cao AH của tứ diện.