Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ . Biết $AC = 2a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BD = 4a$ . Tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.

\frac{a \sqrt{15}}{2}

$\dfrac{{a\sqrt {15} }}{2}$ .

\frac{2 a \sqrt{5}}{5}

$\dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}$ .

\frac{2 a^{3} \sqrt{15}}{3}

$\dfrac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{3}$ .

\frac{4 a \sqrt{1365}}{91}

$\dfrac{{4a\sqrt {1365} }}{{91}}$ .

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi Học Kỳ/Giữa Kỳ

Môn: Toán Lớp 12

Lời giải:

Báo sai

Gọi $I$ là trung điểm của AB $\Rightarrow SI \bot AB$ (do tam giác SAB đều).

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)}\\{\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB}\\{\left( {SAB} \right) \supset SI \bot AB}\end{array}} \right.$ $\Rightarrow SI \bot \left( {ABCD} \right)$ .

+) Ta thấy $AD\parallel BC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {gt} \right) \Rightarrow d\left( {AD;SC} \right)$

$= d\left( {AD;\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)$ .

Mà $AI \cap \left( {SBC} \right) = B \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {I;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{{AB}}{{IB}} = 2$ .

$\Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {I;\left( {SBC} \right)} \right)$

$\Rightarrow d\left( {AD;SC} \right) = 2d\left( {I;\left( {SBC} \right)} \right)$ .

Trong $\left( {ABCD} \right)$ , kẻ $IH \bot BC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {H \in BC} \right)$ . Trong $\left( {SIH} \right)$ kẻ $IK \bot SH{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {K \in SH} \right)$ ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot IH}\\{BC \bot SI{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {SI \bot \left( {ABCD} \right)} \right)}\end{array}} \right.$ $\Rightarrow BC \bot \left( {SIH} \right) \Rightarrow BC \bot IK$ .

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{IK \bot SH}\\{IK \bot BC}\end{array}} \right. \Rightarrow IK \bot \left( {SBC} \right)$ $\Rightarrow d\left( {I;\left( {SBC} \right)} \right) = IK$ .

Gọi $O = AC \cap BD$ ta có $AC \bot BD$ tại $O$ và $O$ là trung điểm của $AC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BD$ .

+) Tam giác AOB vuông tại $O$ có $AO = \dfrac{{AC}}{2} = a;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BO = \dfrac{{BD}}{2} = 2a$ .

$\Rightarrow AB = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}}$ $= \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} {\rm{\;}} = a\sqrt 5 {\rm{\;}} = BC$ (Định lí Pytago).

Ta có ${S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}AC.BD = \dfrac{1}{2}.2a.4a = 4{a^2}$ .

$\Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABCD}} = 2{a^2}$ $\Rightarrow {S_{IBC}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}} = {a^2}$ .

Mặt khác ${S_{IBC}} = \dfrac{1}{2}IH.BC \Rightarrow IH = \dfrac{{2{S_{IBC}}}}{{BC}}$ $= \dfrac{{2{a^2}}}{{a\sqrt 5 }} = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}$ .

+) Tam giác SAB đều cạnh $a\sqrt 5$ $\Rightarrow SI = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.a\sqrt 5 {\rm{\;}} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{2}$ .

+) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SIH ta có:

$IK = \dfrac{{SI.IH}}{{\sqrt {S{I^2} + I{H^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt {15} }}{2}.\dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}}}{{\sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt {15} }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}} \right)}^2}} }}$ $= \dfrac{{2a\sqrt {1365} }}{{91}}$ .