Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4. Hình trụ $\left( T \right)$ có một đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện ABCD. Diện tích xung quanh của $\left( T \right)$ bằng:

Cho bất phương trình ${\log _{\dfrac{1}{3}}}\left( {{x^2} - 2x + 6} \right) \le {\rm{\;}} - 2$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Trong một lô hàng có 12 sản phẩm khác nhau, trong đó có đúng 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 6 sản phẩm từ lô hàng đó. Hãy tính xác suất để trong 6 sản phẩm được lấy ra có không quá một phế phẩm?

Nghiệm của phương trình ${3^{x - 1}} = 9$ là

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right) = {x^4} - 12{x^2} - 4$ trên đoạn $\left[ {0;9} \right]$ bằng:

Cho hàm số $y = {x^3} - 3m{x^2} + 4{m^3}.$ Với giá trị nào của $m$ để hàm số có 2 điểm cực trị A,B sao cho $AB = \sqrt {20} .$

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa hai đường thẳng ${d_1}:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y + 3}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 5}}{{ - 3}}$ và ${d_2}:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \dfrac{{x + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{y + 3}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{3}.$ Khi đó phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int\limits_0^7 {f\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = 10$ và $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = 6$. Tính $I = \int\limits_{ - 2}^3 {f\left| {3 - 2x} \right|dx}$.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$. Biết $AC = 2a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BD = 4a$. Tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC. 

Cho ba điểm $A\left( {2;1; - 1} \right),$$B\left( { - 1;0;4} \right),$$C\left( {0; - 2; - 1} \right)$. Mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với BC có phương trình là

Biết rằng $\int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + x}}dx = a + b\ln 3 + c\ln 2}$ với $a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c$ là các số hữu tỉ. Tính $2a + 3b - 4c.$ 

Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và mặt phăng (DBC’) hợp với mặt đáy (ABCD) một góc ${60^0}$. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’.

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2} + 2x$ là:

Họ nguyên hàm của hàm số $y = x\sin x$ là

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn $x < y$ và ${4^x} + {4^y} = 32y - 32x + 48$.

Trong không gian Oxyz, cho $A\left( {1;1; - 1} \right),B\left( { - 1;2;0} \right),C\left( {3; - 1; - 2} \right)$. Giả sử $M\left( {a;b;c} \right)$ thuộc mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 861$ sao cho $P = 2M{A^2} - 7M{B^2} + 4M{C^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị $T = \left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|$ bằng

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3{x^2} + 8\sin x$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bơi đường thẳng $y = x + 3$ và parabol $y = 2{x^2} - x - 1$ bằng:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 2}}$, biết tiếp tuyến có hệ số góc $k = {\rm{\;}} - 3$.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại $A$, mặt bên $\left( {SBC} \right)$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)$ là mặt phẳng đi qua điểm $B$ và vuông góc với SC, chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

Tìm giá trị cực đại của hàm số $y = {\rm{\;}} - {x^3} + 3{x^2} + 1$