Cho bất phương trình ${\log _{\dfrac{1}{3}}}\left( {{x^2} - 2x + 6} \right) \le {\rm{\;}} - 2$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ không vượt quá 2021 để phương trình ${4^{x - 1}} - m{.2^{x - 2}} + 1 = 0$ có nghiệm?

Cho $\int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{\sqrt {x + 1} {\rm{\;}} + \sqrt x }} = \dfrac{2}{3}\left( {\sqrt a {\rm{\;}} - b} \right)}$ với a,b là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức $T = a + b$ là:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$. Biết $AC = 2a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BD = 4a$. Tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC. 

Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với $\left( P \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x - z + y = 0$ và chứa giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( Q \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2x + 2y - z + 1 = 0$ và $\left( R \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x + 2y - 2z + 2 = 0$.

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( {1;1;2} \right),B\left( {2;0;1} \right)$. Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB có phương trình là:

Hãy tìm số nghiệm $x$ thuộc $\left[ {0;100} \right]$ của phương trình sau: ${2^{\cos \pi x - 1}} + \dfrac{1}{2} = \cos \pi x + {\log _4}\left( {3\cos \pi x - 1} \right)$

Tính thể tích $V$ của khối nón có độ dài đường sinh $l = 5a$ và bán kính của đường tròn đáy là $r = 3a$

Cho hàm số $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có đồ thị như hình bên dưới.

Trong các số $a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} d$ có bao nhiêu số dương?

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng $\sqrt 2 a$. Tam giác SAD cân tại $S$ và mặt bên $\left( {SAD} \right)$  vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng $\dfrac{4}{3}{a^3}$. Tính khoảng cách h từ $B$  đến mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$. 

Cho ba điểm $A\left( {2;1; - 1} \right),$$B\left( { - 1;0;4} \right),$$C\left( {0; - 2; - 1} \right)$. Mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với BC có phương trình là

Họ nguyên hàm của hàm số $y = x\sin x$ là

Diện tích hình phẳng giới hạn bơi đường thẳng $y = x + 3$ và parabol $y = 2{x^2} - x - 1$ bằng:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3{x^2} + 8\sin x$.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\dfrac{{x - 3}}{4} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 2}}{3}$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d?

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int\limits_0^7 {f\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = 10$ và $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = 6$. Tính $I = \int\limits_{ - 2}^3 {f\left| {3 - 2x} \right|dx}$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, $AB = a;\,\,AD = a\sqrt 3$. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4. Hình trụ $\left( T \right)$ có một đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện ABCD. Diện tích xung quanh của $\left( T \right)$ bằng:

Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và mặt phăng (DBC’) hợp với mặt đáy (ABCD) một góc ${60^0}$. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’.

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn $x < y$ và ${4^x} + {4^y} = 32y - 32x + 48$.

Cho hàm số $y = {x^3} - 3m{x^2} + 4{m^3}.$ Với giá trị nào của $m$ để hàm số có 2 điểm cực trị A,B sao cho $AB = \sqrt {20} .$