Xét các số nguyên dương \(a,\)\(b\)sao cho phương trình \(a{{\ln }^{2}}x+b\ln x+5=0\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},\)\({{x}_{2}}\) và phương trình \(5{{\log }^{2}}x+b\log x+a=0\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{3}},\)\({{x}_{4}}\) thỏa mãn \({{x}_{1}}{{x}_{2}}>{{x}_{3}}{{x}_{4}}\). Tính giá trị nhỏ nhất \({{S}_{\min }}\) của \(S=2a+3b\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện \(x>0\), điều kiện mỗi phương trình có 2 nghiệm phân biệt là \({{b}^{2}}>20a\).
Đặt \(t=\ln x\), \(u=\log x\) khi đó ta được \(a{{t}^{2}}+bt+5=0\,(1)\), \(5{{u}^{2}}+bu+a=0(2)\).
Ta thấy với mỗi một nghiệm \(t\) thì có một nghiệm \(x\), một \(u\) thì có một \(x\).
Ta có \({{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{e}^{{{t}_{1}}}}.{{e}^{{{t}_{2}}}}={{e}^{{{t}_{1}}+{{t}_{2}}}}={{e}^{-\frac{b}{a}}}\), \({{x}_{3}}.{{x}_{4}}={{10}^{{{u}_{1}}+{{u}_{2}}}}={{10}^{-\frac{b}{5}}}\), lại có \({{x}_{1}}{{x}_{2}}>{{x}_{3}}{{x}_{4}}\Leftrightarrow {{e}^{-\frac{b}{a}}}>{{10}^{-\frac{b}{5}}}\)
\(\Rightarrow -\frac{b}{a}>-\frac{b}{5}\ln 10\Leftrightarrow a>\frac{5}{\ln 10}\Leftrightarrow a\ge 3\) ( do \(a,b\) nguyên dương), suy ra \({{b}^{2}}>60\Rightarrow b\ge 8\).
Vậy \(S=2a+3b\ge 2.3+3.8=30\), suy ra \({{S}_{\min }}=30\) đạt được \(a=3,b=8\).
