Trong không gian Oxyz cho hai điểm \(A\left( {–1;3;–2} \right), B\left( {–3;7;–18} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x–y + z + 1 = 0\). Phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của AB lên mp \(\left( P \right)\) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiMặt phẳng \(\left( P \right)\) có vecto pháp tuyến \({\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {2;–1;1} \right)\)
Gọi A’ và B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B lên mp \(\left( P \right)\)
+ Đường thẳng qua A vuông góc với \(\left( P \right)\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = – 1 + 2t\\y = 3 – t\\z = – 2 + t\end{array} \right.\).
Tọa độ A’ là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = – 1 + 2t\\y = 3 – t\\z = – 2 + t\\2x–y + z + 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow 2\left( { – 1 + 2t} \right)–\left( {3 – t} \right) + \left( { – 2 + t} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow A’\left( {1;2; – 1} \right)\).
+ Đường thẳng qua B vuông góc với \(\left( P \right)\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = – 3 + 2t’\\y = 7 – t’\\z = – 18 + t’\end{array} \right.\).
Tọa độ B’ là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = – 3 + 2t’\\y = 7 – t’\\z = – 18 + t’\\2x–y + z + 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow 2\left( { – 3 + 2t’} \right)–\left( {7 – t’} \right) + \left( { – 18 + t’} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 5 \Rightarrow B’\left( {7;2; – 13} \right)\).
+ Đường thẳng d’ là đường thẳng đi qua hai điểm A’ và B’, nhận \(\overrightarrow {A’B’} = \left( {6;0; – 12} \right)\) làm vecto chỉ phương, có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2\\z = – 1 – 2t\end{array} \right.\).
