Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng \(d_{1}: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{1}\) và \(d_{2}: \frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{7}=\frac{z-3}{-1}\). Đường vuông góc chung của \(d_{1}\) và \(d_{2}\) lần lượt cắt \(d_{1}\) , \(d_{2}\)tại A và B . Tính diện tích S của tam giác OAB .
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiPT tham số: \(d_{1}:\left\{\begin{array}{l} x=1+2 t_{1} \\ y=-t_{1} \quad, \overrightarrow {a_{1}}=(2 ;-1 ; 1) \\ z=-2+t_{1} \end{array}\right.\) là VTCP của \(d_1\)
PT tham số \(d_{2}:\left\{\begin{array}{l} x=-1+t_{2} \\ y=1+7 t_{2}, \overrightarrow{a_{2}}=(1 ; 7 ;-1) \\ z=3-t_{2} \end{array}\right.\) là VTCP của\(d_2\)
\(\begin{array}{l} A=d_{1} \cap d \Rightarrow A(1+2 a ;-a ;-2+a) \\ B=d_{2} \cap d \Rightarrow B(-1+b ; 1+7 b ; 3-b) \\ \overrightarrow{A B}=(-2+b-2 a ; 1+7 b+a ; 5-b-a) \end{array}\)
AB là đường vuông góc chung của \(d_1\text{ và } d_2\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} A B \perp d_{1} \\ A B \perp d_{2} \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{a_{1}}=0 \\ \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{a_{2}}=0 \end{array}\right.\right. \\ \left\{\begin{array}{l} 2(-2+b-2 a)-(1+7 b+a)+(5-b-a)=0 \\ (-2+b-2 a)+7(1+7 b+a)-(5-b-a)=0 \end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l} -6 b-6 a=0 \\ 52 b+6 a=0 \end{array} \Leftrightarrow a=b=0 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} A(1 ; 0 ;-2) \\ B(-1 ; 1 ; 3) \end{array}\right.\right. \end{array}\)
Ta có: \(\overrightarrow{O A}=(1 ; 0 ;-2) ; \overrightarrow{O B}=(-1 ; 1 ; 3) ;[\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}]=(2 ;-1 ; 1)\)
Khi đó: \(S_{O A B}=\frac{1}{2}|[\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}]|=\frac{\sqrt{6}}{2}\)
