Trong không gian cho \(A(-2 ; 0 ; 0) ; B(0 ;-2 ; 0) ; C(0 ; 0 ;-2)\) . là điểm khác sao cho \(D A, D B, D C\) đôi một vuông góc . \(I(a ; b ; c)\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . Tính \(S=a+b+c\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Gọi } D(x ; y ; z) \Rightarrow \overrightarrow{D A}=(x+2 ; y ; z) ; \overrightarrow{D B}=(x ; y+2 ; z) ; \overrightarrow{D C}=(x ; y ; z+2)\\ &\text { Vì } D A, D B, D C \text { đôi một vuông góc nên } \end{aligned}\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { \vec { D A } \cdot \vec { D B } = 0 } \\ { \vec { D A } \cdot \vec { D C } = 0 } \\ { \vec { D B } \cdot \vec { D C } = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x(x+2)+y(y+2)+z^{2}=0 \\ x(x+2)+y^{2}+z(z+2)=0 \Leftrightarrow x=y=z=-\frac{4}{3} \\ x^{2}+y(y+2)+z(z+2)=0 \end{array}\right.\right.\)
I(a;b;c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nên
\(\left\{\begin{array}{l} I A=I B \\ I A=I C \\ I A=I D \end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} (a+2)^{2}+b^{2}+c^{2}=a^{2}+(b+2)^{2}+c^{2} \\ (a+2)^{2}+b^{2}+c^{2}=a^{2}+b^{2}+(c+2)^{2} \\ (a+2)^{2}+b^{2}+c^{2}=\left(a+\frac{4}{3}\right)^{2}+\left(b+\frac{4}{3}\right)^{2}+\left(c+\frac{4}{3}\right)^{2} \end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a=b \\ a=c \\ 4 a+4=8 a+\frac{16}{3} \end{array} \Leftrightarrow a=b=c=-\frac{1}{3}\right.\)
Vậy \(a+b+c=-1\)
