Tìm tất các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=\frac{1}{3} x^{3}+(m+3) x^{2}+4(m+3) x+m^{3}-m\) đạt cực trị tại \(x_{1}, x_{2}\) thỏa mãn \(-1<x_{1}<x_{2}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(y^{\prime}=x^{2}+2(m+3) x+4(m+3)\)
\(\text { Yêu cầu của bài toán } \Leftrightarrow y^{\prime}=0 \text { có hai nghiệm phân biệt } x_{1}, x_{2} \text { thỏa mãn: }-1<x_{1}<x_{2} \text { . }\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} (m+3)^{2}-4(m+3)>0 \\ \left(x_{1}+1\right)\left(x_{2}+1\right)>0 \\ x_{1}+x_{2}>-2 \end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} (m+3)(m-1)>0 \\ x_{1} x_{2}+\left(x_{1}+x_{2}\right)+1>0 \\ x_{1}+x_{2}>-2 \end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} {\left[\begin{array}{l} m<-3 \\ m>1 \end{array}\right.} \\ m>-\frac{7}{2} \Leftrightarrow-\frac{7}{2}<m<-3 \\ m<-2 \end{array}\right.\)