Tìm số phức liên hợp của z thỏa mãn \(\left| {z – i} \right| = \left| {\overline z + 1 + 2i} \right|\) và \(\frac{{z – 2i}}{{\overline z + i}}\) là số thuần ảo?

Gọi \(z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = a – bi\)

Theo giả thiết:

\(\left| {z – i} \right| = \left| {\overline z + 1 + 2i} \right| \Leftrightarrow \left| {a + bi – i} \right| = \left| {a – bi + 1 + 2i} \right| \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{\left( {b – 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {{\left( {2 – b} \right)}^2}}  \Leftrightarrow 2a – 2b + 4 = 0 \Leftrightarrow b = a + 2\) (1).

Mặt khác \(\frac{{z – 2i}}{{\overline z + i}} = \frac{{a + bi – 2i}}{{a – bi + i}} = \frac{{\left( {a + bi – 2i} \right)\left( {a + bi – i} \right)}}{{{a^2} + {{\left( {1 – b} \right)}^2}}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{\left( {a + bi – 2i} \right)\left( {a + bi – i} \right)}}{{{a^2} + {{\left( {1 – b} \right)}^2}}} = \frac{{{a^2} – {b^2} + 3b – 2 + \left( {2ab – 3a} \right)i}}{{{a^2} + {{\left( {1 – b} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{array}\) là số thuần ảo nên \(\begin{array}{l}\frac{{{a^2} – {b^2} + 3b – 2}}{{{a^2} + {{\left( {1 – b} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} – {b^2} + 3b – 2 = 0,(2)\\{a^2} + {\left( {1 – b} \right)^2} > 0,(*)\end{array} \right.\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{array}\).

Thay b = a + 2 ở (1) vào (2), ta được: \({a^2} – {\left( {a + 2} \right)^2} + 3\left( {a + 2} \right) – 2 = 0 \Leftrightarrow {a^2} – \left( {{a^2} + 4a + 4} \right) + 3a + 6 – 2 = 0 \Leftrightarrow a = 0\)

Với a = 0, ta có: b = 2 (thỏa (*)) nên z = 2i.

Vậy \(\overline z = – 2i\).