Tìm phần ảo b của số phức \( {\rm{w}} = 1 + (1 + i) + {(1 + i)^2} + {(1 + i)^3} + ... + {(1 + i)^{2018}}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiDễ thấy tổng trên là tổng của cấp số nhân có 2019 số hạng, trong đó số hạng đầu tiên u1=1, công bội q=1+i
Do đó
\(w = {u_1}.\frac{{1 - {q^{2019}}}}{{1 - q}} = 1.\frac{{1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{2019}}}}{{1 - \left( {1 + i} \right)}} = \frac{{1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{2019}}}}{{ - i}}\)
Ta có \( {\left( {1 + i} \right)^2} = 1 + 2i + {i^2} = 2i\)
Suy ra
\( {\left( {1 + i} \right)^{2019}} = {\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right]^{1009}}.\left( {1 + i} \right) = {\left( {2i} \right)^{1009}}\left( {1 + i} \right) = {2^{1009}}.{i^{1009}}.\left( {1 + i} \right) = {2^{1009}}.i.\left( {1 + i} \right) = {2^{1009}}.\left( { - 1 + i} \right)\)
Vậy \( w = \frac{{1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{2019}}}}{{ - i}} = \frac{{1 - {2^{1009}}.\left( { - 1 + i} \right)}}{{ - i}} = \frac{{i.\left[ {1 - {2^{1009}}.\left( { - 1 + i} \right)} \right]}}{1} = {2^{1009}} + \left( {{2^{1009}} + 1} \right)i\)
