Nghiệm của phương trình \(3^{3+3 x}+3^{3-3 x}+3^{4+x}+3^{4-x}=10^{3}\) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { } 3^{3+3 x}+3^{3-3 x}+3^{4+x}+3^{4-x}=10^{3} \Leftrightarrow 27.3^{3 x}+\frac{27}{3^{3 x}}+81.3^{x}+\frac{81}{3^{x}}=10\\ &\Leftrightarrow 27 \cdot\left(3^{3 x}+\frac{1}{3^{3 x}}\right)+81 \cdot\left(3^{x}+\frac{1}{3^{x}}\right)=10^{3}(1) . \text { Đặt } t=3^{x}+\frac{1}{3^{x}} \geq 2 \sqrt{3^{x} \cdot \frac{1}{3^{x}}}=2\\ &\Rightarrow t^{3}=\left(3^{x}+\frac{1}{3^{x}}\right)^{3}=3^{3 x}+3.3^{2 x} \cdot \frac{1}{3^{x}}+3.3^{x} \cdot \frac{1}{3^{2 x}}+\frac{1}{3^{3 x}} \Leftrightarrow 3^{3 x}+\frac{1}{3^{3 x}}=t^{3}-3 t \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Khi đó: }(1) \Leftrightarrow 27\left(t^{3}-3 t\right)+81 t=10^{3} \Leftrightarrow t^{3}=\frac{10^{3}}{27} \Leftrightarrow t=\frac{10}{3}>2\\ &\text { Với } t=\frac{10}{3} \Rightarrow 3^{x}+\frac{1}{3^{x}}=\frac{10}{3}(2) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Đặt } y=3^{x}>0 . \text { Khi đó }(2) \Leftrightarrow y+\frac{1}{y}=\frac{10}{3} \Leftrightarrow 3 y^{2}-10 y+3=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} y=3(N) \\ y=\frac{1}{3}(N) \end{array}\right.\\ &\text { Với } y=3 \Rightarrow 3^{x}=3 \Leftrightarrow x=1 \text { ; Với } y=\frac{1}{3} \Rightarrow 3^{x}=\frac{1}{3} \Leftrightarrow x=-1 \text { . Vậy } S=\{-1 ; 1\} \text { . } \end{aligned}\)
