Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {{m^2} - 1} \right)x\) có hai điểm cực trị A và B sao cho A, B nằm khác phía và cách đều đường thẳng d: y= 5x- 9 . Tính tổng tất cả các phần tử của S.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai+ Ta có đạo hàm y’ = x2- 2mx+ (m2-1).
Phương trình y’ = 0 có
+ Không mất tính tổng quát, giả sử \(A\left( {{x_1};\;{y_1}} \right),\;B\left( {{x_2};\;{y_2}} \right).\)
A, B nằm khác phía khi và chỉ khi x1. x2 < 0 hay ( m-1) (m+ 1) < 0
Suy ra -1 < m < 1
A, B cách đều đường thẳng y = 5x-9 suy ra trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng đó.
Khi đó ta có:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{1}{3}{m^3} - m = 5m - 9 \Leftrightarrow \frac{1}{3}{m^3} - 6m + 9 = 0\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{m_1} = 3}\\
{\frac{1}{3}{m^2} + m - 3 = 0}
\end{array}} \right.
\end{array}\)
Suy ra \({m_1} + {m_2} + {m_3} = 3 + \frac{{ - 1}}{{\frac{1}{3}}} = 0.\)