Cho phương trình \(\log _{3} \frac{x^{2}-2 x+1}{x}+x^{2}+1=3 x\) có tổng tất cả các nghiệm bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐK: \(x>0,x \neq 1\)
\(\begin{array}{l} \log _{3} \frac{x^{2}-2 x+1}{x}+x^{2}+1=3 x \Leftrightarrow \log _{3}\left(x^{2}-2 x+1\right)-\log _{3} x+x^{2}-2 x+1-x=0 \\ \Leftrightarrow \log _{3}\left(x^{2}-2 x+1\right)+\left(x^{2}-2 x+1\right)=\log _{3} x+x(*) \end{array}\)
Xét hàm số \(f(t)=\log _{3} t+t \text { với } t>0 \text { và } t \neq 1\)
\(f^{\prime}(t)=\frac{1}{t \ln 3}+1>0 \text { với } t>0 \text { và } t \neq 1\)
nên f(t) đồng biến với t>0 và \(t\ne 1\)
Do đó:
\(f\left(x^{2}-2 x+1\right)=f(x) \Leftrightarrow x^{2}-2 x+1=x \Leftrightarrow x^{2}-3 x+1=0 \Leftrightarrow x=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\)
Khi đó tổng các nghiệm của phương trình bằng 3 .
