Nghiệm của phương trình \(\displaystyle {\log _2}({2^x} + 1).{\log _2}({2^{x + 1}} + 2) = 2\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(PT\Leftrightarrow {\log _2}\left( {{2^x} + 1} \right) . {\log _2}\left( {{{2.2}^x} + 2} \right) = 2\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {\log _2}({2^x} + 1).{\log _2}\left[ {2({2^x} + 1)} \right] = 2\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{2^x} + 1} \right).\left[ {{{\log }_2}2 + {{\log }_2}\left( {{2^x} + 1} \right)} \right] = 2\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {\log _2}({2^x} + 1).\left[ {1 + {{\log }_2}({2^x} + 1)} \right] = 2\)
Đặt \(\displaystyle t = {\log _2}({2^x} + 1)\), ta có phương trình \(\displaystyle t\left( {1 + t} \right) = 2\; \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 = 0\)\(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 2\end{array} \right.\)
\(\displaystyle \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}({2^x} + 1) = 1\\{\log _2}({2^x} + 1) = - 2\end{array} \right.\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} + 1 = 2\\{2^x} + 1 = \frac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} = 1\\{2^x} = - \frac{3}{4}(l)\end{array} \right.\)\(\displaystyle \Leftrightarrow x = 0\)
