Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a . SA vuông góc với mặt phẳng đáy. H và K là hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh BC và CD sao cho \(B H=\frac{3 a}{4}, K D=x(0<x<a)\) . Tìm giá trị của x để hai mặt phẳng \((S A H) \text { và }(S A K)\) tạo với nhau một góc bằng \(45^{\circ} .\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Ta chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ
\(\begin{aligned} &\text { Khi đó } A(0 ; 0 ; 0) ; B(a ; 0 ; 0) ; D(0 ; a ; 0) ; S \in O z\\ &\text { Qua đó ta có tọa độ các điểm } C(a ; a ; 0) ; H\left(a ; \frac{3 a}{4} ; 0\right) ; K(x ; a ; 0) \text { . }\\ &\text { Ta có: } \overrightarrow{A H}=\left(a ; \frac{3 a}{4} ; 0\right) ; \overrightarrow{A K}=(x ; a ; 0) \text { . }\\ &\text { Ta có }\left\{\begin{array}{l} \vec{k}=(0 ; 0 ; 1) \\ \overrightarrow{A H}=\left(a ; \frac{3 a}{4} ; 0\right) \end{array} \Rightarrow[\vec{k}, \overrightarrow{A H}]=\left(-\frac{3 a}{4} ; a ; 0\right) .\right. \end{aligned}\)
Gọi \(\vec{n}\) là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \((S A H) \text { thì } \vec{n}=\left(\frac{-3}{4} ; 1 ; 0\right) .\)
Ta có \(\left\{\begin{array}{l} \vec{k}=(0 ; 0 ; 1) \\ \overrightarrow{A K}=(x ; a ; 0) \end{array} \Rightarrow[\vec{k}, \overrightarrow{A K}]=(-a ; x ; 0)\right.\)
Gọi \(\begin{aligned} &\overrightarrow{n^{\prime}} \end{aligned}\) là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAK) thì \(\overrightarrow{n^{\prime}}=(-a ; x ; 0)\)
Gọi \(\alpha\) là góc giữa hai mặt phẳng (SAH) và (SAK) , khi đó
\(\begin{array}{l} \cos \alpha=\frac{\left|\vec{n} \cdot \vec{n}^{\prime}\right|}{|\vec{n}| \cdot\left|\vec{n}^{\prime}\right|} \Leftrightarrow \cos 45^{\circ}=\frac{\left|\frac{3 a}{4}+x\right|}{\sqrt{\left(\frac{-3}{4}\right)^{2}+1 \cdot \sqrt{(-a)^{2}+x^{2}}}} \Leftrightarrow 2\left(\frac{3 a}{4}+x\right)^{2}=\frac{25}{16}\left(a^{2}+x^{2}\right) \\ \Leftrightarrow 7 x^{2}+48 a x-7 a^{2}=0 \Leftrightarrow x=\frac{a}{7}(d o x>0) \\ \text { Vậy } x=\frac{a}{7} \end{array}\)
