Cho tứ diện ABCD có $A\,(2;1;-1),\,\,B\,(3;0;1),\,\,C\,(2;-1;3)$ và điểm D thuộc trục Oy. Biết ${{V}_{ABCD}}=5.$ Tìm tọa độ điểm D.

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với $A\left( {1\,;0\,; – 2} \right),B\left( {2\,; – 3\,; – 4} \right),C\left( {3\,;0\,; – 3} \right)$. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng OG?

Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng $d: \frac{x+1}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z+2}{2} \text { và điểm } A(3 ; 2 ; 0)$. Điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng d có tọa độ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm B(2;-1;3) và mặt phẳng (P): 2x-3y+3z-4=0 . Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm B và vuông góc mp (P) có phương trình là
 

Trong không gianOxyz , cho $\vec{u}=(1 ;-2 ; 3), \vec{v}=(2 ; 3 ;-1), \alpha$ là góc giữa hai vectơ. Chọn mệnh đề đúng.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm $A(-3 ; 1 ;-4) \text { và } B(1 ;-1 ; 2)$. Phương trình mặt cầu (S) nhận AB làm đường kính là
 

Trong không gian với hệ tọa độOxyz , phương trình nào sau đây là phương trình mặt phẳng qua điểm $M(3 ;-1 ; 1)$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta: \frac{x-2}{3}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z-3}{1}$

Trong không gian Oxyz . Đường thẳng đi qua$H(3 ;-1 ; 0)$ và vuông góc với mặt phẳng (Oxz) có phương trình là
 

Trong không gian Oxyz , cho các điểm $A(1 ; 0 ; 2), B(-1 ; 2 ; 4)$ Phương trình mặt cầu đường kính AB là
 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các mặt phẳng$(P): x+y+z-1=0$ và $(Q):x-2 y+z-2=0$. Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua đi qua điểm M (1;2;3) và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng $(P): \frac{x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{z}{1}=1$ . Vecto nào dưới đây làvecto pháp tuyến của (P)?
 

Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  (S )  có tâm  I (2;1; -1) và tiếp xúc với mp(P)  có phương  trình: 2 x - 2 y - z + 3 = 0 Bán kính của mặt cầu  (S ) là:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M là điểm biểu diễn số phức z = 1 − 2i, N là điểm biểu diễn số phức $z' = \frac{{1 - i}}{2}z$. Tính diện tích tam giác OMM′

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 – t\\z = t\end{array} \right.,\;d’:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t’\\y = 1 + t’\\z = 2 + t’\end{array} \right.$. Đường thẳng $\Delta$ cắt d,d’ lần lượt tại các điểm A,B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng $\Delta$ là

Trong không gian $O\,xyz$, cho mặt phẳng $(R):x + y – 2z + 2 = 0$ và đường thẳng ${\Delta _1}:\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}.$ Đường thẳng ${\Delta _2}$ nằm trong mặt phẳng $(R)$ đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng ${\Delta _1}$ có phương trình là

Cho 3 vectơ $\overrightarrow{u}=\left( 1;2;3 \right);\overrightarrow{v}=\left( 2;1;m \right);\overrightarrow{w}=\left( 2;m;1 \right).$ Tìm m để 3 vectơ không đồng phẳng.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng $(P): 2x+y-z-1$ và $(Q): x-2y+z-5$ . Khi đó, giao tuyến của (P) và (Q) có một vectơ chỉ phương là?

Trong không gian Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là: $d:\frac{x}{1} = \frac{{y – 6}}{{ – 4}} = \frac{{z – 6}}{{ – 3}}$. Biết rằng điểm $M\left( {0\,;5\,;3} \right)$ thuộc đường thẳng AB và điểm $N\left( {1\,;1\,;0} \right)$ thuộc đường thẳng AC. Một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u$ của đường thẳng AC có tọa độ là

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M\left( {3;\,1;\,1} \right)$, nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right):x + y – z – 3 = 0$ và tạo với đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4 + 3t\\z = – 3 – 2t\end{array} \right.$ một góc nhỏ nhất thì phương trình của $\Delta$ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( {1;2; – 3} \right), B\left( { – 2;3;1} \right)$ đường thẳng đi qua $A\left( {1;2; – 3} \right)$ và song song với OB có phương trình là

Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng $d_1$ qua điểm $M(3 ;-2 ; 1)$ và có VTCP $\vec{u}(1 ;-1 ; 2)$, gọi $d_2$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P): x-y+2 z=0 \text { và }(Q): x+2 y+z-3=0$ . Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $d_1$và song song với $d_2$