Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\), hàm số \(y = f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên. Hàm số \(g(x) = 2f\left( {\frac{{5\sin x – 1}}{2}} \right) + \frac{{{{(5\sin x – 1)}^2}}}{4} + 3\) có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng \((0;2\pi )\).

A. 9

B. 7

C. 6

D. 8

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Môn: Toán Lớp 12

Chủ đề: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số

Bài: Cực trị của hàm số

Lời giải:

Báo sai

Ta có: \(g'(x) = 5\cos xf’\left( {\frac{{5\sin x – 1}}{2}} \right) + \frac{5}{2}\cos x\left( {5\sin x – 1} \right)\)

\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow 5\cos xf’\left( {\frac{{5\sin x – 1}}{2}} \right) + \frac{5}{2}\cos x\left( {5\sin x – 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\f’\left( {\frac{{5\sin x – 1}}{2}} \right) = – \frac{{5\sin x – 1}}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\frac{{5\sin x – 1}}{2} = – 3\\\frac{{5\sin x – 1}}{2} = – 1\\\frac{{5\sin x – 1}}{2} = \frac{1}{3}\\\frac{{5\sin x – 1}}{2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\5\sin x – 1 = – 6\\5\sin x – 1 = – 2\\5\sin x – 1 = \frac{2}{3}\\5\sin x – 1 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = – 1\\\sin x = – \frac{1}{5}\\\sin x = \frac{1}{3}\\\sin x = \frac{3}{5}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = – 1\\\sin x = – \frac{1}{5}\\\sin x = \frac{1}{3}\\\sin x = \frac{3}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} \vee x = \frac{{3\pi }}{2}\\x = \frac{{3\pi }}{2}\\x = \pi – arc\sin \left( { – \frac{1}{5}} \right) \vee x = 2\pi + arc\sin \left( { – \frac{1}{5}} \right)\\x = arc\sin \left( {\frac{1}{3}} \right) \vee x = \pi – arc\sin \left( {\frac{1}{3}} \right)\\x = arc\sin \left( {\frac{3}{5}} \right) \vee x = \pi – arc\sin \left( {\frac{3}{5}} \right)\end{array} \right.\), ( Vì \(0 < x < 2\pi \)).

Suy phương trình \(g’\left( x \right) = 0\) có 9 nghiệm, trong đó có nghiệm \(x = \frac{{3\pi }}{2}\) là nghiệm kép.

Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 7 cực trị.