Cho hai điểm \(A\left( {2, - 3,4} \right);\,\,\,\,B\left( { - 1,4,3} \right)\). Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) vuông góc với AB, cắt ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại M, N, E sao cho thể tích O.MNE bằng \(\frac{3}{{14}}\) đvtt.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVecto pháp tuyến của \(\left( P \right):\overrightarrow {AB} = \left( { - 3,7, - 1} \right)\)
Phương trình \(\left( P \right):3x - 7y + z + D = 0\)
(P) cắt 3 trục tọa độ tại \(M\left( { - \frac{D}{3},0,0} \right);\,\,N\left( {0,\frac{D}{7},0} \right);\,\,E\left( {0,0, - D} \right)\)
Thể tích hình chóp \(O.MNE = \frac{1}{6}OM.ON.OE = \frac{1}{6}\left| {\frac{D}{3}.\frac{D}{7}.D} \right|\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{{{\left| D \right|}^3}}}{{126}} = \frac{3}{{14}} \Leftrightarrow {\left| D \right|^3} = 27 \Leftrightarrow D = \pm 3\\ \Rightarrow \left( P \right):3x - 7y + z \pm 3 = 0 \end{array}\)