Đề Thi Tham Khảo Đánh Giá Năng Lực Năm 2025 – ĐHQG Hà Nội – Đề Số 05 - Phần 1: Toán Học Và Xử Lí Số Liệu/Tư Duy Định Lượng

Cho hàm số \(y=\frac{2 x+1}{x-2}\) có đồ thị \((C)\). Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm thuộc đồ thị \((C)\) mà tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng \(\frac{2}{5}\)?

Tìm \(m\) để đồ thị hàm số \((C)\) của hàm số : \(y=\frac{-x^{3}}{m}+3 m x^{2}-2\) có điểm uốn nằm trên đường parabol \((P): y=2 x^{2}-2\)?

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số : \(y=\frac{x^{3}}{x^{2}-1}\) là?

Cho \(x, y\) là các số thực dương thỏa mãn bất đẳng thức sau đây

\(\log \frac{x+1}{3 y+1} \leq 9 y^{4}+6 y^{3}-x^{2} y^{2}-2 y^{2} x\).

Biết \(y \leq 1000\). Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương \((x ; y)\) thỏa mãn bất đẳng thức trên?

Có bao nhiêu cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn điều kiện \(0 \leq y \leq 100\) và \(x^{6}+6 x^{4} y+12 x^{2} y^{2}-19 y^{3}+3 x^{2}-3 y=0\)?

Trong phòng giáo viên, giờ ra chơi có bốn cô giáo: An, Bình, Giang và Nhàn ngồi nói chuyện với nhau quanh 1 chiếc bàn hình tròn. Cô mặc áo dài xanh (không phải là cô An và cô Bình) thì ngồi giữa cô mặc áo dài tím và cô Nhàn. Cô mặc áo dài trắng thì ngồi giữa cô mặc áo dài hồng và cô Bình. Vậy cô An mặc áo màu gì?

Cho hình chóp \(\mathrm{S} . \mathrm{ABCD}\) đáy là hình vuông cạnh \(a\). Mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(\mathrm{SB}, \mathrm{BC}, \mathrm{CD}\). Tính thể tích khối tứ diện CMNP.

Cho hình chóp \(S . A B C D\) có đáy \(A B C D\) là hình thoi và \(A B=B D=a, S A=a \sqrt{3}, S A \perp(A B C D)\). Gọi \(M\) là điểm trên cạnh \(S B\) sao cho \(B M=\frac{2}{3} S B\). Giả sử \(N\) là điểm di động trên trên cạnh \(A D\). Tìm vị trí điểm \(N\) để \(B N \perp D M\)?

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) là \(f^{\prime}(x)=(x+3)(x-4)\). Tính tổng các giá trị nguyên của tham số \(m \in[-10 ; 5]\) để hàm số : \(y=f\left(x^{2}-3 x+m\right)\) có nhiều điểm cực trị nhất

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) trong đoạn \([-10 ; 10]\) sao cho đồ thị hàm số \(y=x^{3}\) cắt đường thẳng \(y=3 m x-m^{2}\) tại ba điểm phân biệt?

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị như hình vẽ. Hỏi phương trình \(f[f(x)]=0\) có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y=\frac{x^{2}+m}{x^{2}-3 x+2}\) có đúng 1 tiệm cận đứng?

Một công ty cần xây một cái kho chứa hàng dạng hình hộp chữ nhật có thể tích \(2000 \mathrm{~m}^{3}\) bằng vật liệu gạch và xi măng, đáy là hình chữ nhật có chiều dài bằng hai lần chiều rộng. Người ta cần tính toán sao cho chi phí xây dựng thấp nhất, biết giá vật liệu xây dựng là \(500.000~ đồng /\mathrm{m}^{2}\). Khi đó, chi phí thấp nhất gần với số nào nhất trong các số dưới đây?

Cho hàm số \(f(x)=\cos ^{2} 2 x+2(\sin x+\cos x)^{3}-3 \sin 2 x+m\). Số các giá trị nguyên của \(m\) để \(f^{2}(x) \leq 36~ \forall x\) là?

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(\forall x \in \mathbb{R}\), hàm số \(f^{\prime}(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c\) có đồ thị như hình vẽ.

Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết rằng hàm số \(y=f^{\prime}(x)\) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số \(y=f\left(x^{2}-5\right)\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho hàm số \(y=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2} m x^{2}+2 m x-3 m+4\) nghịch biến trên đoạn có độ dài là 3?

Cho hàm số \(y=\frac{x+1}{1-x}\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như hình vẽ:

Đồ thị hàm số \(y=|f(x-2001)-2019|\) có bao nhiêu điểm cực trị?

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y=x^{3}-3 m x^{2}+6 m x-8\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng?

Một tạp chí bán được 25 nghìn đồng một cuốn tạp chí. Chi phí xuất bản \(x\) cuốn tạp chí được cho bởi công thức: \(\mathrm{C}(x)=0,0001 x^{2}-0,2 x+11000\) vạn đồng (bao gồm: lương cán bộ,công nhân viên, \(\ldots\) ).

Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 6000 đồng. Các khoản thu chi bán tạp chí bao gồm tiền bán tạp chí và 100 triệu đồng nhận được từ quảng cáo. Giả sử số cuốn in ra được bán hết. Tính số tiền lãi lớn nhất có thể có được khi bán tạp chí (làm tròn đến chữ số hàng chục nghìn)

Giả sử chiều cao (tính bằng cm ) của một giống cây trồng (trong vòng 1 số tháng nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số: \(f(t)=\frac{200}{1+4 e^{-t}}, t \geq 0\). Trong đó , thời gian \(t\) được tính bằng tháng kể từ khi hạt bắt đầu nảy mầm. Khi đó đạo hàm \(f^{\prime}(t)\) sẽ biểu thị tốc độ tăng chiều cao của giống cây đó. Hỏi sau khi hạt giống bắt đầu nảy mầm thì sau bao nhiêu tháng tốc độ tăng chiều cao của cây là lớn nhất?

*Kết quả lấy phần nguyên.

Vào năm 2020, dân số của một quốc gia là khoảng 97 triệu người và tốc độ tăng trưởng dân số là \(0,91 \%\). Nếu tốc độ tăng trưởng dân số này được giữ nguyên hàng năm, hãy ước tính dân số quốc gia đó vào năm 2030

*Kết quả lấy phần nguyên.

Biết rằng gia đình cô Xuân có hai người con. Tính xác suất 2 người con đều là gái, biết rằng có ít nhất 1 người là con gái?

Biết rằng gia đình cô Xuân có hai người con. Xác suất hai người con đều là con gái biết rằng người con đầu là con gái là:

Cho hai số thực \(x \geq 0 ; 1 \leq y \leq 3\) thỏa mãn \(2^{x-2 y} \cdot(2 x+1)=4 y+2 x+4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=2^{x-y-2}-x-y^{2}+2037\)?

Một tòa nhà cao 50 m , vào những ngày trời nắng, độ dài bóng của tòa nhà được tính theo công thức \(S(t)=50\left|\cot \frac{\pi}{12} t\right|\). Trong đó \(S\) được tính bằng mét, \(t\) là số giờ tính từ 6 giờ sáng. Trong một ngày có bao nhiêu thời điểm bóng có độ dài bằng chiều cao của tòa nhà?

Cho hai biến cố A và B , với \(P(A)=\frac{3}{8}, P(B)=\frac{1}{2}, P(\overline{A B})=\frac{1}{5}\). Giá trị của \(P(A B)\) là?

Trên sườn đồi, với độ dốc \(16 \%\) (Độ dốc của sườn đồi được tính bằng tan của góc nhọn tạo bởi sườn đồi với phương nằm ngang ) có một vây cao thẳng đứng. Ở phía chân đồi, cách gốc cây 30 m , người ta nhìn ngọn cây dưới một góc \(45^{\circ}\) so với phương nằm ngang. Tính chiều cao của cây đó (làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị mét).

Tìm số nguyên dương \(n\) bé nhất sao cho trong khai triển \((x+1)^{n}\) có hai hệ số liên tiếp nhau có tỷ số là \(\frac{7}{15}\).

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để phương trình \(m^{2} \ln \left(\frac{x}{e}\right)=(2-m) \ln x-4\) có nghiệm thuộc vào đoạn \(\left[\frac{1}{e} ; 1\right]\).

Tìm giá trị của tham số \(m\) để hàm số sau liên tục tại \(x=0\).

\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{x}, x<0 \\ m+\frac{1-x}{1+x}, x \geq 0\end{array}\right.\).

Cho hình chóp đều \(S . A B C D\) có tất cả các cạnh bằng \(2 a\), điểm \(M\) thuộc cạnh \(S C\) sao cho \(S M=2 M C\). Mặt phẳng \((P)\) chứa \(A M\) và song song với \(B D\). Tính diện tích thiết diện của hình chốp \(S . A B C D\) cắt bởi \((P)\).

Cho 8 bạn học sinh \(A, B, C, D, E, F, G, H\) hỏi có bao nhiêu cách xếp 8 bạn đó ngồi quanh một bàn tròn có 8 chiếc ghế?

Gọi \(\mathrm{M}, \mathrm{m}\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{2 \cos x+1}{\cos x-2}\). Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho dãy số \(\left(u_{n}\right)\) biết \(\left\{\begin{array}{l}u_{1}=1 \\ u_{n}=\frac{1}{3} u_{n-1}+2\end{array}\right.\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho tứ diện \(A B C D\). Trên các cạnh \(A D\) và \(B C\) lần lượt lấy các điểm \(\mathrm{M}, \mathrm{N}\) sao cho \(\overrightarrow{A M}=3 \overrightarrow{M D}, \overrightarrow{N B}=-3 \overrightarrow{N C}\). Gọi \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\) lần lượt là trung điểm của \(\mathrm{AD}, \mathrm{BC}\). Khẳng định nào sau đây sai?

Một vườn thú ghi lại tuổi thọ ( đơn vị: năm) của 20 con khỉ và ghi lại kết quả như sau:

 Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là:

Cho tứ diện \(A B C D\) có \(A C=A D=B C=B D=a\) và hai mặt phẳng \((A C D),(B C D)\) vuông góc với nhau. Tính độ dài cạnh \(C D\) sao cho hai mặt phẳng \((A B C),(A B D)\) vuông góc với nhau.

Biết \(\lim \frac{-3 n^{3}+2 n^{2}-4}{a n^{3}-1}=\frac{1}{2}\) với \(a\) là tham số. Khi đó \(a^{3}+3 a\) bằng bao nhiêu?

Tính đạo hàm của hàm số \(f(x)=x(x-1)(x-2) \cdots(x-2024)\) tại điểm \(x=0\)?

Thời gian tập luyện cư ly 100m của hai vận động viên được cho trong bảng sau:

Khẳng định nào sau đây sai?

Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho tồn tại số thực \(y\) thỏa mãn \(\log _{3}(x+y)=\log _{4}\left(x^{2}+y^{2}\right)\)?

Anh An mua ô tô trả góp trị giá 400 triệu với lãi suất \(1.2 \%\) một tháng. Hỏi hàng tháng anh An phải trả bao nhiêu triệu để sau 4 năm thi hết nợ.

*Làm tròn đến hàng đơn vị.

Trên bàn cờ \(6 \times 7\) như hình vẽ, người chơi chỉ được di chuyển quân cờ theo các cạnh của hình vuông, mỗi bước đi được một cạnh. Có bao nhiêu cách di chuyển quân cờ từ điểm A đến điểm B bằng 13 bước? 

Cho hình chóp \(S. A B C\) có đáy \(A B C\) là tam giác vuông tại \(B, S A \perp(A B C), B C=2, S A=2 a, A B=2 \sqrt{2} a\).

Gọi \(E\) là trung điểm \(A C\). Khi đó, góc giữa hai đường thẳng \(S E\) và \(B C\) là:

Trong một khu rừng, người ta ước tính đang có 800 con hà mã, 1500 con cá sấu và 2100 con ngựa vằn. Tốc độ tăng trưởng của hà mã là \(4 \%\) mỗi năm, trong khi đó số ngựa vằn lại giảm \(3 \%\) mỗi năm. Số lượng cá sấu tăng \(2 \%\) mỗi năm.

Số lượng hà mã tăng gấp đôi sau bao nhiêu năm?

Trong một khu rừng, người ta ước tính đang có 800 con hà mã, 1500 con cá sấu và 2100 con ngựa vằn. Tốc độ tăng trưởng của hà mã là \(4 \%\) mỗi năm, trong khi đó số ngựa vằn lại giảm \(3 \%\) mỗi năm. Số lượng cá sấu tăng \(2 \%\) mỗi năm.

Sau 10 năm, số lượng ngựa vằn còn lại trong rừng gần nhất với giá trị nào sau đây?

Trong một khu rừng, người ta ước tính đang có 800 con hà mã, 1500 con cá sấu và 2100 con ngựa vằn. Tốc độ tăng trưởng của hà mã là \(4 \%\) mỗi năm, trong khi đó số ngựa vằn lại giảm \(3 \%\) mỗi năm. Số lượng cá sấu tăng \(2 \%\) mỗi năm.

Sau bao nhiêu năm số lượng cá sấu nhiều hơn số lượng ngựa vằn?

Cho hình hộp \(A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\), trên cạnh \(A A^{\prime}, B B^{\prime}, C C^{\prime}\) lần lượt lấy ba điểm \(M, N, P\) sao cho \(\frac{A M}{A A^{\prime}}=\frac{3}{4}, \frac{B N}{B B^{\prime}}=\frac{1}{2}, \frac{C P}{C C^{\prime}}=\frac{1}{3}\). Biết rằng \((M N P)\) cắt \(D^{\prime} D\) tại \(Q\). Tính tỷ số \(\frac{D^{\prime} Q}{D^{\prime} D}\).