Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau, dãy số nào bị chặn ?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét đáp án D ta có: \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2019}}\)\( \Rightarrow {u_{n + 1}} = \frac{{n + 2}}{{n + 2020}}\)
Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n}\) ta có:
\(\begin{array}{l}H = {u_{n + 1}} - {u_n}\\ = \frac{{n + 2}}{{n + 2020}} - \frac{{n + 1}}{{n + 2019}}\\ = \frac{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 2019} \right) - \left( {n + 1} \right)\left( {n + 2020} \right)}}{{\left( {n + 2019} \right)\left( {n + 2020} \right)}}\\ = \frac{{{n^2} + 2021n + 4038 - {n^2} - 2021n - 2020}}{{\left( {n + 2019} \right)\left( {n + 2020} \right)}}\\ = \frac{{2018}}{{\left( {n + 2019} \right)\left( {n + 2020} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Do đó dãy số \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2019}}\) là dãy số tăng.
Ta có: \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2019}} = 1 - \frac{{2018}}{{n + 2019}} < 1,\)\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
Do đó dãy số tăng và bị chặn trên bởi 1.
Lại có:
\(\begin{array}{l}n \ge 1 \Leftrightarrow n + 2019 \ge 2020\\ \Leftrightarrow \frac{{2018}}{{n + 2019}} \le \frac{{2018}}{{2020}} = \frac{{1009}}{{1010}}\\ \Rightarrow - \frac{{2018}}{{n + 2019}} \ge - \frac{{1009}}{{1010}}\\ \Rightarrow {u_n} = 1 - \frac{{2018}}{{n + 2019}} \ge \frac{1}{{1010}}\end{array}\)
Do đó dãy số bị chặn dưới bởi \(\frac{1}{{1010}}\).
Vậy dãy số \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2019}}\) là dãy số bị chặn.
Câu hỏi liên quan
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\). Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định bởi: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 1}}\,\,\,khi\,\,x > 1\\ax + 2\,\,\,khi\,\,x \le 1\end{array} \right.\). Xác định \(a\) để hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).
-
Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc. Biết \(OA = OB = OC = a\), tính diện tích tam giác \(ABC\).
-
Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) trên tập \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\) là
-
Giới hạn \(\lim \frac{{{{12}^n} - {{11}^n}}}{{{4^n} + {{4.12}^n} + 3}}\) bằng
-
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\), \(M\) là trung điểm của \(BB'\). Đặt \(\overrightarrow {CA} = \overrightarrow a ,\) \(\overrightarrow {CB} = \overrightarrow b ,\) \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow c \). Khẳng định nào sau đây đúng ?
-
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_n} = {n^2} + 2n\). Số hạng thứ tám của dãy số là:
-
Đạo hàm của hàm số \(y = \sin \left( {{x^3}} \right)\) là
-
Trong không gian cho hai đường thẳng \(a,b\) và mặt phẳng \(\left( P \right).\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Cho cấp số cộng \(({u_n})\). Tìm \({u_1}\) và công sai \(d,\)biết tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là \({S_n} = 2{n^2} - 5n.\)
-
Giả sử \(M\) là điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) thuộc đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) của hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 1\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định bởi: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 2}}{{x - 2}}\,\,khi\,\,x \ne 2\\2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 2\end{array} \right.\). Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây?
-
Tính giới hạn \(\lim \frac{{{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}}}{{{n^3} + 3n}}\).
-
Tìm tất cả các số thực \(x\) để ba số \(3x - 1;\) \(x;\) \({\rm{3}}x + 1\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
-
Cho hình chóp \(S.ABC,D\) là trung điểm của đoạn \(SA.\) Gọi \({h_1};{h_2}\) lần lượt là khoảng cách từ \(S\) và \(D\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right).\) Tỉ số \(\frac{{{h_1}}}{{{h_2}}}\) bằng
.png)
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right),\,\,\Delta ABC\) vuông tại \(B,\,\,AH\) là đường cao của \(\Delta SAB\), \(AK\) là đường cao của \(\Delta SAC\). Khẳng định nào sau đây sai?
-
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề không đúng ?
-
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {2{x^2} + x} - \sqrt {{x^2} + 1} }}{{2x + 1}}.\)
-
Tìm tham số m để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2{x^2} - 7x + 6}}{{x - 2}}{\rm{ khi }}x \ne 2\\2m + 5{\rm{ khi }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2\end{array} \right.\) liên tục tại điểm \(x = 2\).
-
Cho \(f(x) = 3{x^2}\); \(g(x) = 5(3x - {x^2})\). Bất phương trình \(f'\left( x \right) > g'\left( x \right)\) có tập nghiệm là
