Tính tổng S=1.2+2.3+. . .+(n−2)(n−1)+(n−1)nS=1.2+2.3+. . .+(n−2)(n−1)+(n−1)n với mọi n≥2n≥2
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiKhi n = 2 thì S = 1.2 = 2 =2(22−1)3=2(22−1)3
Khi n = 3 thì S = 1.2 + 2.3 = 8 =3(32−1)3=3(32−1)3
Khi n = 4 thì S = 1.2 +2.3 + 3.4 = 20=4(42−1)3=4(42−1)3
Dự đoán công thức: S=n(n2−1)3S=n(n2−1)3
Ta chứng minh công thức trên đúng bằng phương pháp quy nạp.
Khi n = 2 thì công thức trên đúng.
Giả sử công thức trên đúng đến n = k, tứ là 1.2+2.3+...+(k−1)k=k(k2−1)31.2+2.3+...+(k−1)k=k(k2−1)3
Ta chứng minh công thức trên đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh
1.2+2.3+...+(k−1)k+k(k+1)=(k+1)[(k+1)2−1]31.2+2.3+...+(k−1)k+k(k+1)=(k+1)[(k+1)2−1]3
Từ giả thiết quy nạp ta có :
1.2+2.3+...+(k−1)k+k(k+1)=k(k2−1)3+k(k+1)=k(k2−1)+3k(k+1)3=k(k+1)(k−1)+3k(k+1)3=k(k+1)(k−1+3)3=k(k+1)(k+2)3=(k+1)(k2+2k)3=(k+2)[(k+1)2−1]31.2+2.3+...+(k−1)k+k(k+1)=k(k2−1)3+k(k+1)=k(k2−1)+3k(k+1)3=k(k+1)(k−1)+3k(k+1)3=k(k+1)(k−1+3)3=k(k+1)(k+2)3=(k+1)(k2+2k)3=(k+2)[(k+1)2−1]3
Vậy công thức trên đúng với n = k + 1 hay dự đoán ban đầu là đúng.
Vậy S=n(n2−1)3S=n(n2−1)3
Chọn D.
Câu hỏi liên quan
-
Cho A={0;1;2;3;4;5}A={0;1;2;3;4;5}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 3?
-
Phương trình 1+2cos2x=01+2cos2x=0 có nghiệm (k∈Z)(k∈Z)
-
Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số đôi một khác nhau và lớn hơn 5000050000.
-
Cho cấp số cộng (un):10;a;4;b(un):10;a;4;b thì giá trị của a,ba,b là:
-
Cho hình chóp S,ABCD có đáy ABCD là một tứ giác (AB không song song với CD). Gọi M là trung điểm của SD, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN=2NBSN=2NB, O là giao điểm của AC và BD. Cặp đường thẳng nào sau đây cắt nhau:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành thì giao tuyến của (SAD) và (SBC) là:
-
Trong mặt phẳng Oxy cho M(0;2),N(−2;1),→v=(1;2)M(0;2),N(−2;1),→v=(1;2). Ảnh của M, N qua T→v→v lần lượt biến thành M’, N’ thì độ dài M’N’ là:
-
Cho hai đường thẳng a và b. Điều kiện nào sau đây đủ để kết luận a và b chéo nhau?
-
Điều kiện để phương trình msinx+8cosx=10msinx+8cosx=10 vô nghiệm là
-
Cho cấp số cộng (un)(un) biết u1=7u1=7 và d=4d=4. Lựa chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
-
Một câu lạc bộ có 25 thành viên. Số cách chọn một ban quản lí gồm 1 chủ tịch, 1 phó chủ tịch và một thư ký là:
-
Cho tứ diện ABCD, M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC, P là trung điểm của AD. Đường thẳng MN song song với:
-
Hệ số của x5x5 trong khai triển (1−x)12(1−x)12 là?
-
Trong mp Oxy, cho 2 điểm A(2;-4), B(1;0), phép tịnh tiến theo →OA−−→OA biến điểm B thành B’ , khi đó B’ có tọa độ là:
-
Từ tập X = {0;1;2;3;4;5} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau mà số đó chia hết cho 10.
-
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang, đáy lớn AB, giao tuyến của mặt (SAD) và (SBC) là:
-
Phép vị tự tâm O(0;0)O(0;0) tỉ số k=−2k=−2 biến đường tròn: (C):(x−1)2+(y−2)2=4(C):(x−1)2+(y−2)2=4 thành đường nào?
-
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang, đáy lớn AB, Gọi O là giao của AC với BD. M là trung điểm SC. Giao điểm của đường thẳng AM và mp(SBD) là:
-
Phương trình lượng giác: cos2x+2cosx−3=0 có nghiệm là(k∈Z):
-
Tìm ảnh của(d):2x+3y−1=0 qua phép tịnh tiến theo →v=(2;5)
