Tìm số hạng không chứa x trong khai triển \({{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{n}}\) biết \(C_{n}^{2}C_{n}^{n-2}+2C_{n}^{2}C_{n}^{3}+C_{n}^{3}C_{n}^{n-3}=100\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l}C_n^2C_n^{n - 2} + 2C_n^2C_n^3 + C_n^3C_n^{n - 3} = 100\,\left( {n \ge 3} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {C_n^2} \right)^2} + 2C_n^2C_n^3 + {\left( {C_n^3} \right)^2} = 100\\ \Leftrightarrow {\left( {C_n^2 + C_n^3} \right)^2} = 100\\ \Leftrightarrow C_n^2 + C_n^3 = 10.\\ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} + \frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} = 10\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}n\left( {n - 1} \right) + \frac{1}{6}n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) = 10\\ \Leftrightarrow 3{n^2} - 3n + {n^3} - 3{n^2} + 2n = 60\\ \Leftrightarrow {n^3} - n - 60 = 0\\ \Leftrightarrow n = 4\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)
Thay n = 4 ta có \({{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{4}}=\sum\limits_{k=0}^{4}{C_{4}^{k}{{x}^{4-k}}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{x}^{-k}}}=\sum\limits_{k=0}^{4}{C_{4}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{x}^{4-2k}}}\)
Tìm số hạng không chứa x \(\Leftrightarrow 4-2k=0\Leftrightarrow k=2\).
Vậy số hạng không chứa x là \(C_{4}^{2}{{\left( -1 \right)}^{2}}=6.\)
Chọn C.
Đề thi HK1 môn Toán 11 năm 2022-2023
Trường THPT Trần Đại Nghĩa
