Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O) bán kính bằng a. Biết rằng AC ⊥ BD. Khi đó để AB + CD đạt giá trị lớn nhất thì:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Vẽ đường kính CE của đường tròn (O).
Ta có \(\widehat {EAC} = {90^0},\widehat {EDC} = {90^0}\)
(góc nội tiếp chắn đường kính ECEC ).
Từ đó ta có AE⊥AC. Mặt khác theo giả thiết AC⊥BD.
Kéo theo AE//BD. Vậy AEDB là hình thang.
Do hình thang AEDB nội tiếp (O) nên nói phải là hình thang cân.
Kéo theo AB = DE (các cạnh bên hình thang cân).
Từ đó ta cóAB2 +CD2 = DE2 + DC2 = EC2=(2a)2 = 4a2 (do ΔEDC vuông tại D).
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho(AB2,BD2) ta có AB2 + BD2 ≥ 2AB.CD
Kéo theo(AB+CD) 2 ≤ 2(4a2) = 8a2
⇒ AB + CD ≤ 2√2a.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = CD
Xét tam giác ΔABI, ΔDCI có AB = CD, \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AD), \(\widehat {BAC} = \widehat {DCB}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung BC).
Do đó ΔABI = ΔDCI (g.c.g.)
Kéo theo AI = ID, IB = IC. Suy ra AC = AI + IC = ID + IB = BD.
