Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = BC = AC = CD = DB = a,\,\,AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, điểm $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$. Đường thẳng $AO$ cắt mặt phẳng $\left( {MCD} \right)$ tại $G$. Tính diện tích tam giác $GAD$.

Tam giác $ACD$ có $AC = CD = a,AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$ nên $A{E^2} = \dfrac{{A{C^2} + A{D^2}}}{2} - \dfrac{{C{D^2}}}{4}$ $= \dfrac{{{a^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{5{a^2}}}{8}$

Tam giác $BCD$ đều $\Rightarrow BE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Tam giác $ABE$ có $EM$ là đường trung tuyến của tam giác $AEB$ nên :

$E{M^2} = \dfrac{{E{A^2} + E{B^2}}}{2} - \dfrac{{A{B^2}}}{4}$ $= \dfrac{{\dfrac{{5{a^2}}}{8} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{7{a^2}}}{{16}}$

Xét tam giác $BME$ và bộ ba điểm $A,G,O$ thẳng hàng có :

$\dfrac{{AM}}{{AB}}.\dfrac{{OB}}{{OE}}.\dfrac{{GE}}{{GM}} = 1$ $\Rightarrow \dfrac{1}{2}.2.\dfrac{{GE}}{{GM}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{GE}}{{GM}} = 1$ hay $G$ là trung điểm của $ME$.

Xét tam giác $ABD$ có $DM$ là trung tuyến của $\Delta ABD$ nên

$D{M^2} = \dfrac{{D{A^2} + B{D^2}}}{2} - \dfrac{{A{B^2}}}{4} = \dfrac{{5{a^2}}}{8}$.

Tam giác $DME$ có trung tuyến $DG$ nên

$D{G^2} = \dfrac{{D{E^2} + D{M^2}}}{2} - \dfrac{{M{E^2}}}{4}$ $= \dfrac{{\dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{5{a^2}}}{8}}}{2} - \dfrac{{7{a^2}}}{{64}} = \dfrac{{21{a^2}}}{{64}}$.

Lại có $\cos \widehat {AEM} = \dfrac{{A{E^2} + E{M^2} - A{M^2}}}{{2AE.EM}}$ $= \dfrac{{\dfrac{{5{a^2}}}{8} + \dfrac{{7{a^2}}}{{16}} - \dfrac{{{a^2}}}{4}}}{{2.\sqrt {\dfrac{{5{a^2}}}{8}.\dfrac{{7{a^2}}}{{16}}} }} = \dfrac{{13}}{{2\sqrt {70} }}$

$\Rightarrow A{G^2} = A{E^2} + E{G^2} - 2AE.EG\cos \widehat {AEG}$ $= \dfrac{{5{a^2}}}{8} + \dfrac{{7{a^2}}}{{64}} - 2.\sqrt {\dfrac{{5{a^2}}}{8}.\dfrac{{7{a^2}}}{{64}}} .\dfrac{{13}}{{2\sqrt {70} }}$ $= \dfrac{{21{a^2}}}{{64}}$

Tam giác $ADG$ có $A{G^2} = \dfrac{{21{a^2}}}{{64}},A{D^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4},D{G^2} = \dfrac{{21{a^2}}}{{64}}$

Do đó $\Delta GAD$ cân tại $G$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AD$ thì $AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4},$

$G{H^2} = G{A^2} - A{H^2}$ $= \dfrac{{21{a^2}}}{{64}} - \dfrac{{3{a^2}}}{{16}} = \dfrac{{9{a^2}}}{{64}}$ $\Rightarrow GH = \dfrac{{3a}}{8}$

Diện tích tam giác ${S_{GAD}} = \dfrac{1}{2}GH.AD$ $= \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3a}}{8}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{{32}}$

Chọn B.