Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm tại điểm \({x_0} = 1\) và \(f'\left( {{x_0}} \right) = \sqrt 2 \). Đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt 2 .f\left( x \right) + 1009{x^2}\) tại điểm \({x_0} = 1\) bằng: 

Xét 2 mệnh đề sau:

(I): Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \(x = {x_0}\) thì \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm đó.

(II): Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = {x_0}\) thì \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm đó.

(III): Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) gián đoạn tại điểm \(x = {x_0}\) thì chắc chắn \(y = f\left( x \right)\) không có đạo hàm tại điểm đó.

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\) và \(SA = SC,\,\,SB = SD\). Mệnh đề nào sau đây sai? 

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SA,\,\,SB,\,\,SC,\,\,SD\). Đường thẳng nào sau đây không song song với đường thẳng \(MN\)?

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{{x^2} + 6x - 8}}{{{x^2} - 4}}\) bằng:

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 3{x^2} + 5\). Tính \(f'\left( 2 \right)\). 

Đạo hàm của hàm số \(y = \dfrac{{2x + 3}}{{1 - 4x}}\) bằng: 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {q^n} = 0\) nếu:

Nếu \(\lim {u_n} =  + \infty \) và \(\lim {v_n} = a > 0\) thì \(\lim \left( {{u_n}{v_n}} \right)\) bằng: 

Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 1,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 2019\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {g\left( x \right) - 2f\left( x \right)} \right]\). 

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), biết \(SA = a\sqrt 3 ,\,\,AB = a\), \(AD = a\sqrt 6 \). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến \(\left( {SCD} \right)\) bằng:

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(AB \bot BC\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc nào sau đây? 

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {\sin ^2}\left( {1 - \dfrac{x}{2}} \right)\). Giá trị lớn nhất của \(f'\left( x \right)\) bằng: 

\(\lim \left[ {\dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}} \right]\) bằng: 

Cho hình lập phương \(ABCD.EFGH\). Góc giữa \(AF\) và \(EG\) bằng: 

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) - {\cos ^2}x\) với \(f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\). Nếu \(y' = 1\) và \(f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = 0\). Khi đó \(f\left( x \right)\) là: 

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A,\,\,SA\) vuông góc với đáy. Gọi \(I\) là trung điểm \(AC\) và \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) lên \(SC\). Khi đó \(d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right)\) bằng:

Hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} - 3x + 4}}{{{x^2} + x - 2}}\) có đạo hàm là: 

Hàm số nào dưới đây có đạo hàm cấp 2 là \(6x\). 

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2{x^3} - 2x\,\,khi\,\,x \ge 2\\{x^3} + 3x\,\,\,\,\,khi\,\,x < 2\end{array} \right.\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)\). 

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và có đạo hàm tại \(x \in \left( {a;b} \right)\), \(\Delta x\) là số gia của \(x\). Khi đó vi phân của hàm số \(f\left( x \right)\) tại \(x\) , ứng với số giá \(\Delta x\) là: